Математика конспекты и примеры решения задач

Математика
  • Частные  производные сложной функции.
  • Дифференциал  сложной функции
  • Дифференцирование  неявных функций
  • Производная  по направлению
  • Градиент
  • Разложить на множители полином:
  • Основы векторной алгебры
  • Базис и разложение векторов
  • Скалярное произведение векторов
  • Определители 2-го и 3-го порядка
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • векторная алгебра
  • Аналитическая геометрия Уравнение линии
  • Примеры решения типовых задач:
    прямая на плоскости
  • Уравнение плоскости
  • прямая в пространстве
  • кривые второго порядка
  • Пример выполнения контрольной работы
  • Вычислить определитель матрицы 2-го порядка:
  • Найти матрицу обратную матрице
  • Решение систем линейных уравнений
  • Исследовать совместность
  • системы линейных уравнений
  • Введение в численные методы
  • Скалярное произведение векторов

    Определение 1.10. Углом между двумя векторами называется часть плоскости между их лучами, если вектора приложить к одной точке (Рис. 1.5). Угол между векторами обозначается как  или строчными греческими буквами (например, ) .

    Рис. 1.5. Угол между двумя векторами

    Как известно из школьного курса, осью называется направленная прямая. Как правило, ось определяется единичным вектором, имеющим общее с ней направление и задающим положительную направленность оси. Чтобы получить проекцию точки, требуется опустить на ось перпендикуляр из этой точки.

    Определение 1.11. Проекцией вектора  на ось (или вектор)  называется вектор, началом которого служит проекция начала вектора , а концом – проекция конца вектора  на ось (или вектор ) (Рис. 1.6).

    Обозначается проекция как , на Рис. 1.6: .

    Рис. 1.6. Проекция вектора  на ось

    Приведем свойства проекции:

    1) , где ;

    2) , где  и  - любые числа;

    3) равные вектора имеют равные проекции.

    Определение 1.12. Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению их длин и косинуса угла между ними; обозначают скалярное произведение как : , где .

    Следующие свойства скалярного произведения векторов вытекают прямо из определения:

    1) ;

    2) , где  - любое число;

    3) ;

    4) если , то , где  и  - любые числа;

    5) тогда и только тогда, когда векторы  и  перпендикулярны или один из них равен нулю;

    6) ;

    7) для декартовой системы координат справедливо следующее свойство: если  и , то

    .

    Введем для определенности обозначения: пусть координаты векторов   и . С помощью скалярного произведения решаются следующие задачи:

    1. определение длины вектора:

    а) для декартового базиса: ;

    б) для любого базиса: .

    2. определение расстояния между точками  и :

      по вышеприведенным формулам (в зависимости от базиса).

    3. определение проекции одного вектора на направление другого:

    4. определение косинуса угла между векторами:

    5. определение для декартового базиса косинусов углов, образуемых вектором с осями координат:

    ,

     где  – угол вектора с осью ,  – угол вектора с осью ,  – угол вектора с осью .

    Пример 1.4. Найти , если , , .

    Решение: 1) По определению скалярного произведения имеем: , где ; 2) подставим исходные данные в формулу:

    .

    Ответ: .

    Пример 1.5. Найти , если известны его координаты в декартовой системе координат: .

    Решение: Для нахождения длины вектора в декартовых координатах применим формулу: . Подставим исходные данные:

    .

    Ответ: .

    Математика Решение систем линейных уравнений