Математика конспекты и примеры решения задач

Математика
  • Частные  производные сложной функции.
  • Дифференциал  сложной функции
  • Дифференцирование  неявных функций
  • Производная  по направлению
  • Градиент
  • Разложить на множители полином:
  • Основы векторной алгебры
  • Базис и разложение векторов
  • Скалярное произведение векторов
  • Определители 2-го и 3-го порядка
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • векторная алгебра
  • Аналитическая геометрия Уравнение линии
  • Примеры решения типовых задач:
    прямая на плоскости
  • Уравнение плоскости
  • прямая в пространстве
  • кривые второго порядка
  • Пример выполнения контрольной работы
  • Вычислить определитель матрицы 2-го порядка:
  • Найти матрицу обратную матрице
  • Решение систем линейных уравнений
  • Исследовать совместность
  • системы линейных уравнений
  • Введение в численные методы
  • Базис и разложение векторов

    Определение 1.8. Линейной комбинацией векторов  называется вектор , а числа  - коэффициентами линейной комбинации.

    Определение 1.9. Совокупность векторов  называется линейно независимой, если существуют такие числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что ; если же для заданных векторов равенство выполняется только тогда, когда все  , то вектора  называют линейно зависимыми.

    Теорема 1.1. Пусть даны два ненулевых и неколлениарных вектора   и . Тогда любой вектор  можно представить в виде:   и притом, единственным образом.

    Такое представление вектора называют разложением вектора по базису, набор  – базисом, а коэффициенты при базисе:  – координатами разложения.

    С базисом на плоскости можно связать систему координат. Для этого на плоскости зафиксируется начало координат – точку О и тогда каждой точке А на плоскости соответствует вектор , который называется радиус-вектором точки. Координаты радиуса-вектора при разложении по базису  называются координатами точки в построенной системе координат: .

    Самая распространенная система координат образуется двумя взаимно перпендикулярными векторами , длина которых равна единице: . Такая система координат называется декартовой прямоугольной системой координат.

    Обычно векторы декартового базиса обозначают как , а координаты вектора  относительно декартова базиса как .

    В декартовой системе координат справедливо свойство: длина вектора   равна: .

    Кроме декартовой системы координат существует полярная и криволинейная система координат.

    В общем случае введенный в пространстве базис называют аффинным, и, соответственно, систему координат, состоящую из произвольной точки  и векторного аффинного базиса пространства называют аффинной системой координат этого пространства. Точка   - начало аффинной системы координат.

    Для любой системы координат (не только декартовой) справедливы следующие свойства:

    1) линейные операции над векторами сводятся к таким же операциям над их соответствующими координатами;

    2) координаты вектора равны разностям соответствующих координат его начала и конца;

    3) векторы  и  коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:

    Пример 1.2.

    Даны два вектора  и . Доказать, что они могут быть базисом.

    Решение:

    По определению вектора могут быть базисом, если они ненулевые и неколлениарны, поэтому для доказательства нужно проверить выполнение 3 свойства – соотношение координат векторов не должно быть равным.

      равенство неверно, значит, вектора и  неколлениарны.

    Ответ: вектора  и  являются базисом.

    Пример 1.3.

    Разложить по базису  и  вектор .

    Решение: Обозначим координаты вектора  как ; тогда разложение вектора  по базису  и  можно записать по формуле: . Согласно свойству 1, операции над векторами можно заменить операциями над их координатами; подставим координаты в уравнение, получаем следующую систему: . Решив эту систему, получаем

    Ответ: .

    Математика Решение систем линейных уравнений