Математика конспекты и примеры решения задач

Математика
  • Частные  производные сложной функции.
  • Дифференциал  сложной функции
  • Дифференцирование  неявных функций
  • Производная  по направлению
  • Градиент
  • Разложить на множители полином:
  • Основы векторной алгебры
  • Базис и разложение векторов
  • Скалярное произведение векторов
  • Определители 2-го и 3-го порядка
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • векторная алгебра
  • Аналитическая геометрия Уравнение линии
  • Примеры решения типовых задач:
    прямая на плоскости
  • Уравнение плоскости
  • прямая в пространстве
  • кривые второго порядка
  • Пример выполнения контрольной работы
  • Вычислить определитель матрицы 2-го порядка:
  • Найти матрицу обратную матрице
  • Решение систем линейных уравнений
  • Исследовать совместность
  • системы линейных уравнений
  • Введение в численные методы
  • Основы векторной алгебры

    В данном разделе рассматриваются такие геометрические объекты, как линии, поверхности и т.п. Исследование этих объектов заменяется исследованием их координат, представленных в виде уравнений. В начале раздела приводятся необходимые сведения из векторной алгебры.

    Основные понятия векторной алгебры

    Определение 1.1. Пусть даны две точки на плоскости  и . Вектором называется направленный отрезок, идущий из точки  в точку  (Рис. 1.1). Точка  называется началом вектора, точка  – концом.

    Рис.1.1. Направленный отрезок – вектор

    Вектор обозначают строчной латинской буквой со стрелкой –  или прописными буквами, обозначающими начало и конец вектора – .

    Определение 1.2. Величину, не имеющую направления, называют скалярной или скаляром.

    Определение 1.3. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается как  (читается как «модуль вектора а» или «модуль вектора АВ»).

    Когда начало и конец вектора совпадают, то говорят о нулевом векторе, который обозначают как . Длина нулевого вектора равна нулю.

    Определение 1.4. Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным вектором или ортом.

    Определение 1.5. Два вектора называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых и обозначают как . Вектора называются компланарными, если они лежат в одной (или в параллельных) плоскостях (Рис. 1.2.).

    Рис.1.2. Взаимное расположение коллинеарных векторов

    Определение 1.6. Два вектора называют равными, если они коллениарны, одинаково направлены и их длины совпадают:  и .

    Условие сонаправленности в данном определении очень важно, так как вектора, имеющие одинаковую длину, но направленные в разные стороны, уже не являются равными.

    Операции над векторами

    Над векторами возможны следующие операции: сложения, вычитания, умножение вектора на число.

    Определение 1.7. Операции сложения, вычитания векторов и операция умножения вектора на скаляр называются линейными операциями.

    Сложение векторов. Сумма двух векторов  строится как вектор, идущий от начала вектора  к концу вектора , если вектор  приложен к вектору  (Рис. 1.3).

    Рис. 1.3. Сумма двух векторов

    Для построения сумму двух векторов нужно («правило параллелограмма»): приложить два вектора к одной точке и достроить до параллелограмма. Диагональ параллелограмма, идущая из точки приложения векторов и есть их сумма.

    Для построения суммы произвольного числа векторов нужно приложить второй вектор к концу первого, третий к концу второго и т.д., сумма находится как вектор, идущий из начала первого к концу последнего.

    Свойства операции сложения векторов:

    1) коммутативность

    2) ассоциативность:

    3) для любого вектора : .

    4) для любого вектора  справедливо:

    Вектор  называют противоположным вектору  и обозначают как .

    Вычитание векторов. Вектор, являющийся результатом вычитания двух векторов строится также, по правилу параллелограмма, но является второй диагональю в нем (Рис.1.4):

    Рис. 1.4. Вычитание векторов по правилу параллелограмма

    Умножение вектора на число (скаляр). Произведением вектора  на скаляр является  вектор , удовлетворяющий условиям:

    1) вектор  коллинеарен вектору ;

    2) имеет длину ;

    3) сонаправленный  при  и антинаправленный при .

    Свойства операции умножения вектора на скаляр:

    1) ненулевые векторы  и  коллинеарны тогда и только тогда, когда существует число  такое, что ;

    2) умножение вектора на скаляр ассоциативно относительно умножения скаляров: ;

    3) умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения чисел: ;

    4) умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов: ;

    5) , .

    Из свойств произведения скаляра на вектор следует, в частности, что при умножении нуля на вектор получается нулевой вектор .

    Свойства операций над векторами позволяют обращаться с ними, как с обычными числами: переносить их из одной части равенства в другую с противоположным знаком, делить обе части на ненулевое число, приводить подобные члены и т.п.

    Пример 1.1:

    Решить уравнение  относительно :

    Решение: Переносим  в правую часть уравнения: ; делим правую и левую части на коэффициент при , равный 2. Получаем решение в виде: .

    Ответ: .

    Математика Решение систем линейных уравнений