Математика конспекты и примеры решения задач

Математика
  • Частные  производные сложной функции.
  • Дифференциал  сложной функции
  • Дифференцирование  неявных функций
  • Производная  по направлению
  • Градиент
  • Разложить на множители полином:
  • Основы векторной алгебры
  • Базис и разложение векторов
  • Скалярное произведение векторов
  • Определители 2-го и 3-го порядка
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • векторная алгебра
  • Аналитическая геометрия Уравнение линии
  • Примеры решения типовых задач:
    прямая на плоскости
  • Уравнение плоскости
  • прямая в пространстве
  • кривые второго порядка
  • Пример выполнения контрольной работы
  • Вычислить определитель матрицы 2-го порядка:
  • Найти матрицу обратную матрице
  • Решение систем линейных уравнений
  • Исследовать совместность
  • системы линейных уравнений
  • Введение в численные методы
  • Пример 7. Разложить на множители полином:

    .

    Решение. Заметим, что отделение корней методом, описанным в предыдущем пункте, довольно проблематично – мы получим слишком много чисел, которые нужно проверять. Попробуем группировку. Интуиция подсказывает, что от  нужно оделить часть, кратную 14: это, например, 70-1, 84-15, 98-29 или 42+27. Первый вариант приводит в тупик. Рассмотрим второй вариант. Получим:

    .

    Далее разложим трехчлен :

    .

    Таким образом,

    .

    П.3. Примеры решения простейших алгебраических уравнений

    Многочлены являются простейшими алгебраическими уравнениями. В этом пункте мы рассмотрим некоторые примеры решения таких уравнений.

    Пример 8. Найти корни уравнения

    .

    Решение. В этом уравнении коэффициенты – целые числа, главный коэффициент равен 1. Попробуем подобрать корни уравнения. Для начала разложим на множители свободный член: .

     Начнем с самого маленького числа – тройки.

    , следовательно,  - один из корней уравнения. Чтобы найти остальные корни, разделим левую часть уравнения на :

    Осталось найти корни квадратного уравнения . Применяя, например, формулы Виета, получаем два других корня: .

    Ответ: .

    Пример 9. Найти корни уравнения

    .

    Решение. Задачу можно свести к биквадратному уравнению, но мы попробуем использовать разложение на множители. Для этого к среднему слагаемому прибавим и отнимем :

    .

    Корни первого сомножителя: . Второй множитель корней не имеет.

    Ответ: .

    Далее рассмотрим пример уравнения, которое сводится к рациональному. Особенность таких уравнений – обязательное требование проверки найденных корней области допустимых значений. Например, на ЕГЭ несколько лет назад предлагалась «простая» задача.

    Пример 10. Решить уравнение

    .

    Решение. Очевидно, что корнями первого множителя уравнения являются числа 3 и -3. Нетрудно найти корни второго множителя, это 2 и 5. Однако, если в правую часть подставить число 5, то в первом множителе под корнем будет стоять отрицательное число -16, при котором это выражение не имеет смысла. Поэтому окончательно оставляем корни -3, 2 и 3.

    П. 4. Дробные алгебраические уравнения

     Простейшее дробное алгебраическое выражение имеет вид:

    , где  и  - многочлены.

    Если два дробно-алгебраических уравнения сложить, умножить, вычесть или поделить, то снова получится дробно-алгебраическое выражение. Приравняв некоторое дробно-алгебраическое выражение (содержащее переменную) некоторому числу, получим общее алгебраическое уравнение.

    В общем случае такие уравнения решают по следующему алгоритму: сначала все элементарные дробно-рациональные выражения, имеющиеся в уравнении, переносят в одну часть и приводят к общему знаменателю. В результате получается простейшее дробно-рациональное уравнение. Его корнями служат все числа, являющиеся корнями многочлена, стоящего в числителе, не являющиеся корнями многочлена, стоящего в знаменателе. Рассмотрим пример.

    Пример 11. Решить уравнение

    .

    Решение: приведем дроби к общему знаменателю:

    .

    Приравняв числитель к нулю, находим корни:

    .

    Оба корня числителя не являются корнями знаменателя (убедитесь в этом, непосредственно подставив оба корня в знаменатель), поэтому они являются решениями рассмотренного уравнения.

    Если дробно-рациональное уравнение содержит много элементарных выражений, то, после преобразований, в числителе может образоваться довольно громоздкое выражение, отыскание корней которого будет весьма затруднительным. Но в некоторых случаях бывает возможно свести сложное уравнение к более простому, используя, например, замену переменных. Рассмотрим пример.

    Пример 12. Решить уравнение

    .

    Решение: заметим, что дробно-рациональные выражения  являются взаимно-обратными (их произведение равно единице). Введем следующую замену: . Исходное уравнение примет вид:

    .

    Домножив это уравнение на , получим квадратное уравнение:

    .

    Его корнями являются числа . Выполним обратную замену. Получим и решим совокупность двух уравнений:

    .

    В некоторых случаях, чтобы увидеть взаимно-обратные выражения, требуется выполнить некоторые дополнительные преобразования. Рассмотрим еще один пример.

    Пример 13. Решить уравнение

    .

    Решение: заметим, что знаменатель первого слагаемого равен числителю первого слагаемого.  Далее, если к первому дробному выражению прибавить единицу и привести эту сумму к общему знаменателю, получим:

      - выражение, обратное дробно-рациональному выражению, записанному во втором слагаемом исходного уравнения. Таким образом, исходное уравнение приводится к виду:

    , или, .

    Положим . Уравнение примет вид:

    .

    Оно сводится к квадратному уравнению . Корнями которого являются числа 2 и 3. Выполнив обратную замену, получим совокупность двух простых уравнений:

    .

    Уравнения этой совокупности сводятся к двум простейшим квадратным уравнениям: , корни которых .

    М 10.2.1. Решите уравнение, разложив многочлен на множители:

    а) ,

    б) ,

    в) .

    М 10.2.2. Решите дробно-рациональное уравнение

    а) . (Указание: перенесите первое слагаемое в правую часть и приведите выражения в обеих частях к общему знаменателю.)

    б) . (Указание: перемножьте сначала первый множитель с четвертым и второй с третьим. Первое произведение обозначьте y, второе произведение тогда представится как y+2. Решите получившееся квадратное уравнение и сделайте обратную замену.)

    в) .

    г) . (Указание: попробуйте прибавить к первым двум слагаемым некоторое число так, чтобы сумма оказалась дробью, обратной той, что стоит на третьем месте с множителем -10. Далее смотрите примеры 12 и 13.)

    Математика Решение систем линейных уравнений