Математика конспекты и примеры решения задач

Математика
  • Частные  производные сложной функции.
  • Дифференциал  сложной функции
  • Дифференцирование  неявных функций
  • Производная  по направлению
  • Градиент
  • Разложить на множители полином:
  • Основы векторной алгебры
  • Базис и разложение векторов
  • Скалярное произведение векторов
  • Определители 2-го и 3-го порядка
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • векторная алгебра
  • Аналитическая геометрия Уравнение линии
  • Примеры решения типовых задач:
    прямая на плоскости
  • Уравнение плоскости
  • прямая в пространстве
  • кривые второго порядка
  • Пример выполнения контрольной работы
  • Вычислить определитель матрицы 2-го порядка:
  • Найти матрицу обратную матрице
  • Решение систем линейных уравнений
  • Исследовать совместность
  • системы линейных уравнений
  • Введение в численные методы
  • Градиент. 

    Вектор с координатами  называется градиентом функции  в точке  и обозначается 

     .

    Пусть  – орт вектора  (т.е. единичный вектор, имеющий то же направление, что и вектор ). Тогда   и правую часть формулы (7.1) можно записать в виде скалярного произведения двух векторов:

    Следовательно, формулу (7.1)  можно записать в виде

    По определению скалярного произведения

    где   – угол между векторами  и . Так как , то окончательно получаем

      (7.2)

    Из этого равенства следует, что производная по направлению в точке  будет наибольшей, если это направление совпадает с направлением градиента функции  в точке . В этом случае  и 

    .

    Таким образом, градиент дифференцируемой функции  в точке  определяет направление, в котором функция в этой точке возрастает с наибольшей скоростью. При этом его модуль равен наибольшей скорости изменения функции в точке .

    Из равенства (7.2) следует также, что если векторы  и  перпендикулярны, то производная .  Но это значит, что функция  в точке   в направлении   не меняется, т.е. указанное направление будет касательным к линии уровня в точке  .

    Таким образом, мы получили еще одно свойство градиента: направление вектора   совпадает с направлением нормали к линии уровня функции , проходящей через точку .

    Для функции трех переменных градиент определяется и обозначается аналогичным образом, и сохраняет все свои свойства.

    Алгебраические уравнения и методы их решения

    П.1 Многочлен и его корни

    Рассмотрим набор из (n+1) действительных чисел , многочленом (полиномом) степени n с указанными выше коэффициентами называют выражение вида:

      (1)

    называют многочленом (полиномом) степени x.

     Уравнение

      (2)

    называют алгебраическим уравнением степени n.

     Корни уравнения (2) также называют корнями многочлена.

     Приведем несколько фактов, относящихся к корням многочленов.

    Факт 1. Любой многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

    Замечание. Даже зная, что уравнение имеет корень, найти этот корень бывает весьма непросто.

    Пример 1. Уравнение  очевидно имеет корни 0 и p.

    Пример 2. Установить корни уравнения , которые, безусловно, имеются, довольно сложная задача.

    Факт 2. Если коэффициенты многочлена являются целыми числами, то рациональные корни этого уравнения (если они есть) имеют вид , где числа k и m – натуральные, причем k – делитель свободного члена , m – делитель главного коэффициента .

    Пример 3.  может иметь один из следующих корней:

      (повторяющиеся числа сокращены).

    Проверка показывает, что подходят числа 2,  и .

    Задача по отделению рациональных корней значительно упрощается, если старший коэффициент в многочлене равен единице. В этом случае возможные рациональные корни уравнения могут быть только целыми числами, на которые делится свободный член полинома.

    Пример 4. У многочлена  возможны следующие целые корни: . Проверяя возможные корни (это можно довольно быстро делать с помощью Схемы Горнера) убеждаемся, что единственный целый корень уравнения равен 2.

    Факт 3. Если число  - корень многочлена , то этот многочлен можно представить в виде произведения .

    Найти многочлен  можно, например, применяя метод деления «уголком», очень похожий на тот, который применяют к обычным числам.

     Приведем пример.

    Пример 5. Поделим  на :

    Получаем разложение . Заметим, что первый множитель имеет отрицательный дискриминант, поэтому он (и исходный полином) больше корней не имеет.

    Факт 4. Любой многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде:

    ,  (3)

    где число  - кратность корня ,  - квадратные трехчлены, не имеющие действительных корней (их называют неприводимыми).

    Замечание. При решении уравнений и неравенств можно сокращать на неприводимые трехчлены.

    П.2. Группировка как способ нахождения корней полинома

    К сожалению, (и это доказано), не существует универсального алгоритма, позволяющего (на подобие квадратного трехчлена) находить корни любого полинома. Существуют специальные формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени, однако они трудоемки и в школьном курсе не изучаются. Поэтому часто используются другие методы, такие как отделение корней (рассмотрен в первом пункте), метод группировки и его частный случай – выделение полных квадратов.

    Суть метода группировки в следующем: члены многочлена разбивают на группы (отсюда и название) так, что после приведения подобных каждая группа разложится на множители, причем один из множителей будет содержаться в каждой группе. Этот общий множитель выносится за скобки и исходный многочлен раскладывается в произведение двух многочленов более низкой степени.

     Рассмотрим пример.

    Пример 6. Разложить на множители методом группировки многочлен

    .

    Решение. Проведем группировку следующим образом:

    ( представим в виде суммы , первое слагаемое включим в первую группу, второе слагаемое – в третью).

     Далее, вынесем из каждой скобки общий множитель:

    .

      Вынося общий член , находим разложение:

    .

    Оба квадратных трехчлена имеют отрицательные дискриминанты, поэтому дальнейшее их разложение невозможно.

    Математика Решение систем линейных уравнений