Математика конспекты и примеры решения задач

Математика
  • Частные  производные сложной функции.
  • Дифференциал  сложной функции
  • Дифференцирование  неявных функций
  • Производная  по направлению
  • Градиент
  • Разложить на множители полином:
  • Основы векторной алгебры
  • Базис и разложение векторов
  • Скалярное произведение векторов
  • Определители 2-го и 3-го порядка
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • векторная алгебра
  • Аналитическая геометрия Уравнение линии
  • Примеры решения типовых задач:
    прямая на плоскости
  • Уравнение плоскости
  • прямая в пространстве
  • кривые второго порядка
  • Пример выполнения контрольной работы
  • Вычислить определитель матрицы 2-го порядка:
  • Найти матрицу обратную матрице
  • Решение систем линейных уравнений
  • Исследовать совместность
  • системы линейных уравнений
  • Введение в численные методы
  • Производная по направлению

    Пусть функция двух переменных  определена в некоторой области  плоскости ,  – точка области  –вектор любого направления. Перейдем из точки   в точку  в направлении вектора .  Функция  получит при этом приращение

     .

    Разделим приращение функции  на длину отрезка смещения . Полученное отношение  дает среднюю скорость изменения функции   на участке .  Тогда предел этого отношения при  (если он существует и конечен) будет являться скоростью изменения функции  в точке  в направлении вектора . Его называют производной функции   в точке  по направлению вектора   и обозначают   или .

    Помимо величины скорости изменения функции,  позволяет определить и характер изменения функции в точке  в направлении вектора  (возрастание или убывание):

    если , то функция в точке  в направлении вектора  возрастает;

    если , то функция в точке  в направлении вектора  убывает;

    если , то в направлении вектора  функция не изменяется, т.е. направление вектора   – направление линии уровня функции, проходящей через точку  (вектор  является касательным к линии уровня в точке ).

    Доказываются эти утверждения также, как и подобные для функции одной переменной.

    Заметим, что частные производные функции являются частным случаем производной по направлению. А именно,  это производная функции по направлению вектора   (направлению оси ),  – производная функции по направлению вектора  (направлению оси ).

    Предположим, что функция  дифференцируема в точке . Тогда

    ,

    где   – бесконечно малая при .

    Обозначая  через , имеем

    ,

    где  – направляющие косинусы вектора . Следовательно,

     

     

      

      

     

     

    .

    Разделив на  и перейдя к пределу при , получим

      , (7.1)

    где  – направляющие косинусы вектора .

    Таким образом, для дифференцируемой функции знание частных производных позволяет найти производную по любому направлению.

    ПРИМЕР.  Найти производную функции  в точке  по направлению вектора , где .

    Находим частные производные функции   и вычисляем их значения в точке ;

     .

    Теперь найдем направляющие косинусы вектора . Для этого необходимо координаты вектора разделить на его длину. Имеем:

     .

    Подставляя все в формулу (7.1) получаем

    .

    Аналогичным образом определяется и обозначается производная по направлению для функции трех переменных . Повторяя для этой функции все проведенные выше рассуждения, получим

    ,

    где  – направляющие косинусы вектора .

    Математика Решение систем линейных уравнений