Математика конспекты и примеры решения задач

Математика
  • Частные  производные сложной функции.
  • Дифференциал  сложной функции
  • Дифференцирование  неявных функций
  • Производная  по направлению
  • Градиент
  • Разложить на множители полином:
  • Основы векторной алгебры
  • Базис и разложение векторов
  • Скалярное произведение векторов
  • Определители 2-го и 3-го порядка
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • векторная алгебра
  • Аналитическая геометрия Уравнение линии
  • Примеры решения типовых задач:
    прямая на плоскости
  • Уравнение плоскости
  • прямая в пространстве
  • кривые второго порядка
  • Пример выполнения контрольной работы
  • Вычислить определитель матрицы 2-го порядка:
  • Найти матрицу обратную матрице
  • Решение систем линейных уравнений
  • Исследовать совместность
  • системы линейных уравнений
  • Введение в численные методы
  • Дифференцирование неявных функций

    Говоря о способах задания функции одной и нескольких переменных, мы отмечали, что аналитическое задание функции может быть явным или неявным. В первом случае значение функции находится по известным значениям аргументов; во втором – значение функции и ее аргументов связаны некоторым уравнением. При этом мы не уточняли, когда уравнения

      и 

    определяют неявно заданные функции  и  соответственно. Удобные для применения достаточные условия существования неявной функции  переменных () содержатся в следующей теореме.

    ТЕОРЕМА 6.1. (существования неявной функции) Пусть функция   и ее частные производные  определены и непрерывны в некоторой окрестности точки  . Если  и , то существует такая окрестность   точки , в которой уравнение 

    определяет непрерывную функцию  причем

    ;

    для любой точки 

    ;

    функция   имеет в указанной окрестности  непрерывные частные производные по всем аргументам.

    ПРИМЕРЫ.

    1) Рассмотрим уравнение . Условия теоремы выполняются, например, в любой окрестности точки . Следовательно, в некоторой окрестности точки   это уравнение определяет  как неявную функцию двух переменных  и . Явное выражение этой функции легко получить, разрешив уравнение относительно 

    2) Рассмотрим уравнение . Оно определяет две функции двух переменных   и . Действительно, условия теоремы выполняются, например, в любой окрестности точки . Следовательно, найдется такая окрестность точки ,  в которой заданное уравнение определяет непрерывную функцию, принимающую в точке   значение .

    С другой стороны, условия теоремы выполняются в любой окрестности точки . Следовательно, в некоторой окрестности точки  уравнение определяет непрерывную функцию, принимающую в точке  значение .

    Так как функция не может принимать в одной точке два значения, значит здесь идет речь о двух различных функциях  и  соответственно. Найдем их явные выражения. Для этого разрешим исходное уравнение относительно . Получим

      и .

    3) Рассмотрим уравнение  . Очевидно, что условия теоремы выполняются в любой окрестности точки . Следовательно, найдется такая окрестность точки , в которой уравнение определяет  как неявную функцию переменной . Получить явное выражение для этой функции невозможно, так как уравнение нельзя разрешить относительно .

    4) Уравнение  не определяет никакой неявной функции, так как нет таких пар действительных чисел  и , которые ему удовлетворяют.

    Функция , заданная уравнением , согласно теореме 6.1, имеет в окрестности точки   непрерывные частные производные по всем аргументам. Выясним, как можно их найти, не имея явного задания функции.

    Пусть функция  удовлетворяет условиям теоремы 6.1. Тогда уравнение   определяет в некоторой окрестности  точки  непрерывную функцию . Рассмотрим сложную функцию , где . Функция  является сложной функцией одной переменной ,  причем если , то

       (6.1)

    С другой стороны, по формуле  (5.3) для вычисления полной производной  (6.2)

    Из (6.1) и (6.2) получаем, что если , то

       (6.3)

    Замечание. Делить на   можно, так как согласно теореме 6.1  в любой точке окрестности .

    ПРИМЕР.  Найти производную неявной функции , заданной уравнением  и вычислить ее значение при .

    Имеем  ,

    .

    Подставив частные производные в формулу (6.3), получим

    .

    Далее, подставляя в исходное уравнение , найдем два значения  и .

    Следовательно, в окрестности точки  уравнение определяет две функции:  и , где . Их производные при  будут равны

      и .

    Пусть теперь уравнение   определяет в некоторой окрестности точки   функцию . Найдем . Напомним, что фактически  это обыкновенная производная функции  , рассматриваемой как функция переменной   при постоянном значении . Поэтому мы можем применить для нахождения   формулу (6.3), считая  функцией,  – аргументом,  – константой. Получим

     . (6.4)

    Аналогично, считая  функцией,  – аргументом, – константой по формуле (6.3) находим

     . (6.5)

    ПРИМЕР. Найти частные производные функции , заданной уравнением .

    Имеем ,

    .

    Пользуясь формулами (6.4)  и (6.5), получим

    .

    И, наконец, рассмотрим общий случай, когда уравнение 

    определяет в некоторой окрестности точки  функцию  переменных . Повторяя рассуждения, проведенные для неявно заданной функции двух переменных, получим

    , …, .

    Математика Решение систем линейных уравнений