Математика конспекты и примеры решения задач

Математика
  • Частные  производные сложной функции.
  • Дифференциал  сложной функции
  • Дифференцирование  неявных функций
  • Производная  по направлению
  • Градиент
  • Разложить на множители полином:
  • Основы векторной алгебры
  • Базис и разложение векторов
  • Скалярное произведение векторов
  • Определители 2-го и 3-го порядка
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • векторная алгебра
  • Аналитическая геометрия Уравнение линии
  • Примеры решения типовых задач:
    прямая на плоскости
  • Уравнение плоскости
  • прямая в пространстве
  • кривые второго порядка
  • Пример выполнения контрольной работы
  • Вычислить определитель матрицы 2-го порядка:
  • Найти матрицу обратную матрице
  • Решение систем линейных уравнений
  • Исследовать совместность
  • системы линейных уравнений
  • Введение в численные методы
  • Примеры решения типовых задач: системы линейных уравнений

    Задача 4.1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

    .

    Решение: 1) Составим определители, соответствующие исходной системе и каждому неизвестному:

    ; ; ;

    тогда решение можно будет определить по формулам Крамера.

    2) Вычислим определитель системы: сложим соответствующие элементы первой и второй строк, затем первой и третьей, получим во втором столбце нули, кроме элемента в первой строке. Найдем определитель разложением по второму столбцу: .

    Определитель ненулевой, значит, система имеет решение.

    2) Вычислим оставшиеся определители:

    ;

    ;

    .

    Откуда решение системы:

    ; ; .

    3) Проверяем подстановкой полученных значений в исходную систему:

    . Ответ: ; ; .

    Задача 4.2. Решить систему линейных уравнений матричным методом .

    Решение: Введем обозначения: ; ; .

    тогда исходная система запишется в виде: , откуда решение определяется по формуле: . Определим обратную матрицу:

    1) определитель матрицы определитель не равен нулю:

    ,

    следовательно, решение существует; 2) транспонируем матрицу:

    ; 3) находим алгебраические дополнения к каждому элементу: ; ; ; ; ; ; ; ; ; 4) обратная матрица формируется из алгебраических дополнений, записанных вместо элементов транспонированной матрицы, и деленных на определитель исходной матрицы: .

    Проверяем выполнение условия: :

    .

    Находим решение: .

    Проверяем: . Ответ: ; ; .

    Задача 4.3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

    .

    Решение. Составим расширенную матрицу: .
    Преобразуем матрицу так, чтобы исключить переменную  из всех уравнений, кроме первого: умножим элементы первой строки на (-2) и сложим с соответствующими элементами второй строки, затем умножим элементы первой строки на (-4) и сложим с элементами третьей строки:

    Умножим элементы второй строки на (-1) и сложим с соответствующими элементами третьей строки: . Уравнение, соответствующее третьей строке матрицы, противоречиво:  

    или , следовательно, система несовместна.

    Ответ: система не имеет решений.

    Задача 4.4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

    .

    Решение. 1) Составим расширенную матрицу: .

    2) Преобразуем ее так, чтобы исключить переменную  из всех уравнений, кроме первого: умножим элементы первой строки на (-2) и сложим с соответствующими элементами второй строки; умножим элементы первой строки на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьей строки; умножим элементы первой строки на (-2) и сложим с соответствующими элементами третьей строки: {Поменяем местами вторую и четвертую строки} {Умножим элементы второй строки на  и сложим с элементами третьей строки} {Умножим элементы третьей строки на  и сложим с соответствующими элементами четвертой строки и переставим местами третий и четвертый столбцы}

    .

    Из последнего уравнения находим переменную .

    6) Подставляя в третье уравнение значение переменной  находим значение переменной : .

    7) Из соответствующих уравнений находим оставшиеся переменные:

    ;

    .

    8) Проверяем:

    .

    Ответ:; ; ; .

    Математика Решение систем линейных уравнений