Математика конспекты и примеры решения задач

Математика
  • Частные  производные сложной функции.
  • Дифференциал  сложной функции
  • Дифференцирование  неявных функций
  • Производная  по направлению
  • Градиент
  • Разложить на множители полином:
  • Основы векторной алгебры
  • Базис и разложение векторов
  • Скалярное произведение векторов
  • Определители 2-го и 3-го порядка
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • векторная алгебра
  • Аналитическая геометрия Уравнение линии
  • Примеры решения типовых задач:
    прямая на плоскости
  • Уравнение плоскости
  • прямая в пространстве
  • кривые второго порядка
  • Пример выполнения контрольной работы
  • Вычислить определитель матрицы 2-го порядка:
  • Найти матрицу обратную матрице
  • Решение систем линейных уравнений
  • Исследовать совместность
  • системы линейных уравнений
  • Введение в численные методы
  • Пример 4.14. Исследовать совместность и найти общее решение и одно из частных решений системы линейных уравнений:

    .

    Решение. Выпишем основную и расширенную матрицы системы, пометив сверху столбцы соответствующими неизвестными. Если мы найдем ранг расширенной матрицы, то тем самым найдем и ранг основной матрицы. Переставим 4-ый столбец перед первым, при этом система уравнений не изменится.

    .

    Приведем матрицу к треугольному виду. Напомним, что преобразования можно осуществлять только со строками. Умножим первую строку на (-2) и сложим со второй строкой. Умножим первую строку на (-7) и сложим с третьей строкой, при этом первая остается без изменения:

    {Вторая и третья строки – пропорциональны, следовательно, можно вычеркнуть, например, третью строку без изменения значения определителя матрицы} /

    Найдем наивысший минор, принадлежащий и основной и расширенной матрице: . Возьмем данный минор как базисный. В него вошли коэффициенты при неизвестных  и  – следовательно, это зависимые переменные, а независимыми остались переменные  и . Отсюда можно записать общее решение системы, для чего нужно перенести коэффициенты при свободных переменных в правую часть системы:

    ;

    Для вычисления частного решения зададим значения свободным переменным: ,  , откуда , .

    Проверка: подставим найденное частное решение в исходную систему:

    .

    Ответ: общее решение системы: , одно из частных решений: , , , .

    Системы линейных однородных уравнений

    Определение 4.7. Система линейных уравнений вида:

    ,

    ( 4.7 )

    называется однородной системой линейных уравнений, где .

    Однородная система всегда имеет одно решение , которое называется тривиальным. Условия существования нетривиальных решений определяется следующими теоремами.

    Теорема 4.2. Система однородных линейных уравнений имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы меньше числа неизвестных.

    Теорема 4.3. В случае  система ( 4.7 ) имеет нетривиальное решение только тогда, когда ее определитель равен нулю.

    Теорема 4.4. Любая линейная комбинация решений системы ( 4.7 ) также является решением этой системы.

    Определение 4.8. Совокупность решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений, если эта совокупность состоит из линейно независимых решений и любое решение системы является линейной комбинацией этих решений.

    Теорема 4.5. Если ранг  матрицы системы ( 4.7 ) меньше числа неизвестных , то существует фундаментальная система решений, состоящая из  решений.

    Пример 4.15. Найти общее решение и одну из фундаментальных систем решений для следующей системы однородных уравнений:

    .

    Решение: 1) Найдем ранг матрицы. Не забываем, что преобразования можно проводить только со строками: {Преобразуем матрицу: умножим первую строку на (-3) и сложим со второй строкой, затем умножим первую строку на (-4) и сложим с третьей строкой, затем умножим первую строку на (-3) и сложим с четвертой строкой}

    {Вторая и четвертая, а также вторая и четвертая строки пропорциональны. Следовательно, третью и четвертую строки можно удалить}, откуда .

    2) За базисный минор возьмем определитель . Он имеет наивысший порядок и отличен от нуля. В базисный минор вошли коэффициенты при переменных  и , они составят группу зависимых переменных, следовательно,  и  составят группу свободных переменных.

    3) Выразим зависимые переменные через свободные, таким образом, найдем общее решение системы: .

    Во втором уравнении умножим все коэффициенты на (-1) и подставим значение   из второго уравнения в первое, получим выражения . 4) Найдем фундаментальную систему решений. Она состоит из  решений, которые должны быть линейно независимыми. Самый простой способ составить линейно независимые строки в матрице решения это следующий: свободным переменным придают значения из строк определителя -го порядка, отличного от нуля. Затем подставляют эти значения в выражения общего решения и определяют значения зависимых переменных. Простейшим определителем 2-го порядка, отличным от нуля является . Подставим первый набор значений свободных переменных в решение: , затем второй: . Откуда получаем фундаментальную систему решений: . Ответ: общее решение системы: ; фундаментальная система решений: .

    Математика Решение систем линейных уравнений