Математика конспекты и примеры решения задач

Математика
  • Частные  производные сложной функции.
  • Дифференциал  сложной функции
  • Дифференцирование  неявных функций
  • Производная  по направлению
  • Градиент
  • Разложить на множители полином:
  • Основы векторной алгебры
  • Базис и разложение векторов
  • Скалярное произведение векторов
  • Определители 2-го и 3-го порядка
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • векторная алгебра
  • Аналитическая геометрия Уравнение линии
  • Примеры решения типовых задач:
    прямая на плоскости
  • Уравнение плоскости
  • прямая в пространстве
  • кривые второго порядка
  • Пример выполнения контрольной работы
  • Вычислить определитель матрицы 2-го порядка:
  • Найти матрицу обратную матрице
  • Решение систем линейных уравнений
  • Исследовать совместность
  • системы линейных уравнений
  • Введение в численные методы
  • Примеры решения типовых задач: матрицы

    Задача 4.1.

    Вычислить матрицу по правилу: , где ; ; .

    Решение: По правилам выполнения арифметических операций, сначала выполняем операции, указанные в скобках. Найдем суммы матриц:

    ; .

    Теперь найдем произведение полученных матриц:

    . Ответ: .

    Задача 4.2.

    Вычислить матрицу , где

    , .

    Решение:

    Вычислим вспомогательную матрицу :

    Вычислим вспомогательную матрицу :

    Вычислим матрицу .

    . Ответ: .

    Задача 4.3.

    Вычислить определитель матрицы: .

    Решение. Преобразуем определитель так, чтобы в первой строке остались нули, кроме элемента в первом столбце. Один нуль уже есть, получим еще два. Для этого умножим элементы первого столбца на (-1) и сложим с элементами третьего столбца. Затем умножим элементы первого столбца на (-2) и сложим с четвертым столбцом. При этом, естественно, элементы первого столбца перепишем без изменения:

    {Раскладываем определитель по элементам первой строки}

    {Продолжим преобразования определителя. Получим в первой строке нули, кроме элемента в первом столбце. Умножим элементы первого столбца на (-1) и сложим с элементами второго столбца. Затем умножим элементы первого столбца на (-2) и сложим с элементами третьего столбца. Разложим полученный определитель по элементам первой строки}

    . Ответ: .

    Задача 4.4. Вычислить обратную матрицу для .

    Решение. 1) Вычислим определитель исходной матрицы, выполнив преобразования: умножим элементы первой строки на (-1) и сложим с элементами третьей строки. Затем разложим по элементам третьего столбца:

    .

    2) Транспонируем исходную матрицу .

    3) Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента полученной матрицы:

    ; ; ; ; ; ;

    ; ; .

    4) Запишем алгебраические дополнения в транспонированную матрицу вместо ее элементов. Разделив каждый элемент матрицы на определитель исходной, получим обратную:

    .

    Проверим выполнение условия :

    . Ответ: .

    Задача 4.5. Вычислить матрицу, обратную к матрице: .

    Решение. Вычислим определитель матрицы: сложим элементы третьего столбца с элементами первого и разложим по элементам третьего столбца:

    .

    Определитель равен нулю, значит, матрица вырожденная и для нее обратной не существует.

    Ответ: обратной матрицы не существует.

    Задача 4.6. Вычислить ранг матрицы: .

    Решение. Матрица имеет четыре столбца и три строки, поэтому ее ранг не может превышать: . Однако, она содержит нулевые столбцы: второй и четвертый, значит все ее подматрицы 3-го порядка также будут содержать нулевые столбцы, и их определитель будет равен нулю. Поэтому, отбросив все нулевые столбцы имеем: . Полученная матрица имеет три строки и два столбца, значит, . Обратим внимание на элементы столбцов: они пропорциональны, поэтому любые подматрицы 2-го порядка, выделяемые из данной, также будут иметь определители, равные нулю. Следовательно, данная матрица имеет ранг равный 1.

    Ответ: .

    Задача 4.7. Вычислить ранг матрицы: .

    Решение. Поменяем местами первую и вторую строки, ранг матрицы от этого не изменится:

    Преобразуем матрицу так, чтобы все элементы первого столбца, кроме  были равны нулю. Умножим все элементы первой строки на 2 и сложим с соответствующими элементами третьей строки. Затем сложим все элементы первой строки с соответствующими элементами третьей строки:

    {Теперь добиваемся, чтобы все элементы второго столбца, кроме  и  были равны нулю. Умножаем все элементы второй строки на (-3) и складываем с соответствующими элементами третьей строки. Затем умножаем все элементы второй строки на (-3) и складываем с соответствующими элементами четвертой строки. Если в процессе преобразований получаются строки (или столбцы), целиком состоящие из нулей, то отбрасываем их} .

    Последняя матрица содержит миноры второго порядка не равные нулю, например: , следовательно, .

    Ответ: .

    Математика Решение систем линейных уравнений