Математика конспекты и примеры решения задач

Математика
  • Частные  производные сложной функции.
  • Дифференциал  сложной функции
  • Дифференцирование  неявных функций
  • Производная  по направлению
  • Градиент
  • Разложить на множители полином:
  • Основы векторной алгебры
  • Базис и разложение векторов
  • Скалярное произведение векторов
  • Определители 2-го и 3-го порядка
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • векторная алгебра
  • Аналитическая геометрия Уравнение линии
  • Примеры решения типовых задач:
    прямая на плоскости
  • Уравнение плоскости
  • прямая в пространстве
  • кривые второго порядка
  • Пример выполнения контрольной работы
  • Вычислить определитель матрицы 2-го порядка:
  • Найти матрицу обратную матрице
  • Решение систем линейных уравнений
  • Исследовать совместность
  • системы линейных уравнений
  • Введение в численные методы
  • Пример 4.10. Найти матрицу обратную матрице .

    Решение: 1) Находим определитель исходной матрицы: на первом шаге умножаем элементы третьего столбца на (-1) и складываем с элементами первого столбца, затем элементы третьего столбца умножаем на (-2) и складываем с элементами второго столбца, таким образом, получаем два нуля в первой строке и раскладываем определитель по первой строке:

    .

    2) Записываем транспонированную матрицу: .

    3) Находим алгебраические дополнения к каждому элементу матрицы:

    ; ;

    ; ;

    ; ;

    ; ;

    .

    Записываем вместо элементов матрицы их алгебраические дополнения:

    Чтобы данная матрица стала обратной к исходной  нужно каждый элемент этой матрицы разделить на определитель исходной матрицы :

    .

    Докажем, что полученная матрица является обратной для исходной, то есть для этих матриц выполняется соотношение , для удобства вычислений запишем обратную матрицу как произведение вспомогательной матрицы на величину, обратную определителю матрицы : .

    Ответ: .

    Ранг матрицы

    Пусть даны  числовых матрицы, состоящих из одного столбца:

    , , …,

    Определение 4.18. Матрица  называется линейной комбинацией столбцов .

    Определение 4.19. Совокупность столбцов  называется линейно зависимой, если существуют такие числа , среди которых хотя бы одно не равно нулю и выполняется равенство: , где 0 – есть нулевой столбец. Если данное равенство возможно лишь в случае, когда все , то столбцы называются линейно зависимыми.

    Определение 4.20. Пусть дана матрица  размера . Если в ней выделить  строк и  столбцов, то получится квадратная подматрица порядка . Ее определитель называется минором -того порядка матрицы .

    Определение 4.21. Число  называется рангом матрицы , если в матрице есть минор порядка   отличный от нуля и все миноры, выше него порядком, равны нулю. Принято обозначать ранг матрицы как  или  или . Считается, что нуль-матрица имеет ранг равный нулю.

    Определение 4.22. Любой минор матрицы, отличный от нуля и имеющий порядок , называется базисным, а столбцы и строки, его составляющие, называются базисными.

    Из определения следует, что матрица может иметь несколько базисных миноров.

    Теорема 4.2. Любая строка (или столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (или столбцов).

    Следствия.

    Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов).

    Максимальное число линейно независимых строк совпадает с максимальным числом линейно независимых столбцов.

    Всякие  строк (столбцов) матрицы ранга  линейно зависимы.

    Если ранг матрицы равен числу ее строк (столбцов), то строки (столбцы) линейно независимы.

    Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда ее строки (столбцы) линейно зависимы.

    Пример 4.11. Найти все миноры матрицы и определить среди них базисные: .

    Решение: 1) По определению, минор – это определитель квадратной подматрицы, выделенной из исходной. Значит, минора третьего порядка у данной матрицы не может быть, ведь строк всего две. Выпишем все миноры второго порядка: , , .

    2) Среди найденных миноров второй равен нулю, значит, он не может быть базисным. Тогда в качестве базисных можно взять первый и третий из рассмотренных миноров.

    Ответ: В качестве базисных для исходной матрицы можно взять миноры второго порядка:  и .

    В общем случае определение ранга матрицы путем перебора всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются преобразования, сохраняющие ранг матрицы.

    Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие:

    Отбрасывание нулевого столбца (строки) матрицы.

    Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

    Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

    Прибавление к каждому элементу строки (столбца) матрицы  соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число, отличное от нуля.

    Теорема 4.3. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.

    На практике с помощью элементарных преобразования приводят матрицу к треугольному виду, когда вычисление ранга не представляет больших трудностей.

    Пример 4.12. Найти ранг матрицы .

    Решение: Для решения приведем матрицу к треугольному виду с помощью элементарных преобразований, которые не меняют ранга матрицы. Умножим элементы первой строки на (-2) и сложим с соответствующими элементами второй строки. Также умножим элементы первой строки на (-1) и сложим с соответствующими элементами третьей строки:

    {Проведем дальнейшие преобразования: умножим элементы второй строки на 3 и сложим с элементами третьей строки, получим матрицу}. Полученная матрица имеет минор третьего порядка, не равный нулю: . Следовательно, ранг матрицы равен 3.

    Ответ: .

    Математика Решение систем линейных уравнений