Математика конспекты и примеры решения задач

Математика
  • Частные  производные сложной функции.
  • Дифференциал  сложной функции
  • Дифференцирование  неявных функций
  • Производная  по направлению
  • Градиент
  • Разложить на множители полином:
  • Основы векторной алгебры
  • Базис и разложение векторов
  • Скалярное произведение векторов
  • Определители 2-го и 3-го порядка
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • векторная алгебра
  • Аналитическая геометрия Уравнение линии
  • Примеры решения типовых задач:
    прямая на плоскости
  • Уравнение плоскости
  • прямая в пространстве
  • кривые второго порядка
  • Пример выполнения контрольной работы
  • Вычислить определитель матрицы 2-го порядка:
  • Найти матрицу обратную матрице
  • Решение систем линейных уравнений
  • Исследовать совместность
  • системы линейных уравнений
  • Введение в численные методы
  • Дифференциал сложной функции. 

    Напомним, что если  – дифференцируемая функция двух независимых переменных, то по определению

     , (5.4)

    или в другом виде . (5.5)

    Преимущество формулы (5.5) в том, что она остается верна и в том случае, когда   – сложная функция.

    Действительно, пусть , где . Предположим, что функции  дифференцируемы. Тогда сложная функция  тоже будет дифференцируема и ее полный дифференциал по формуле (5.5) будет равен

    .

    Применяя формулу (5.1) для вычисления частных производных сложной функции, получаем

    .

    Так как в скобках стоят полные дифференциалы функций  и , то окончательно имеем

    .

    Итак, мы убедились, что и в том случае, когда  и  – независимые переменные, и в том случае, когда   и   – зависимые переменные, дифференциал функции  можно записать в виде (5.5). В связи с этим, данная форма записи полного дифференциала называется инвариантной. Предложенная в (5.4) форма записи дифференциала не будет инвариантной, она может использоваться только в том случае, когда  и  – независимые переменные. Не будет инвариантной и форма записи дифференциала -го порядка. Напомним, что ранее мы показали, что дифференциал порядка  функции двух переменных  может быть найден по формуле

     . (4.12)

    Но если  и  не являются независимыми переменными, то формула (4.12)  при  перестает быть верной.

    Очевидно, что все рассуждения, проведенные в этом пункте для функции двух переменных, можно повторить и в случае функции большего числа аргументов. Следовательно, для функции  дифференциал тоже может быть записан в двух видах:

    и ,

    причем вторая форма записи будет инвариантной, т.е. справедливой и в том случае, когда  являются не независимыми переменными, а промежуточными аргументами.

    Математика Решение систем линейных уравнений