Математика конспекты и примеры решения задач

Математика
  • Частные  производные сложной функции.
  • Дифференциал  сложной функции
  • Дифференцирование  неявных функций
  • Производная  по направлению
  • Градиент
  • Разложить на множители полином:
  • Основы векторной алгебры
  • Базис и разложение векторов
  • Скалярное произведение векторов
  • Определители 2-го и 3-го порядка
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • векторная алгебра
  • Аналитическая геометрия Уравнение линии
  • Примеры решения типовых задач:
    прямая на плоскости
  • Уравнение плоскости
  • прямая в пространстве
  • кривые второго порядка
  • Пример выполнения контрольной работы
  • Вычислить определитель матрицы 2-го порядка:
  • Найти матрицу обратную матрице
  • Решение систем линейных уравнений
  • Исследовать совместность
  • системы линейных уравнений
  • Введение в численные методы
  • Пример 4.5. Вычислить определитель матрицы 2-го порядка: .

    Решение: По формуле для вычисления определителя 2-го порядка имеем: .

    Ответ: 16.

    Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве Найти угол между прямой и плоскостью.

    Определение 4.14. Определителем матрицы третьего порядка называется число, определяемое по формуле:

      .

    В данное выражение входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Можно не запоминать данное выражение, так как в дальнейшем выведем более простое правило нахождения определителя любого порядка .

    Определение 4.15. Минором произвольного элемента  матрицы называется определитель , который получается вычеркиванием -той строки и -того столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.

    Определение 4.16. Алгебраическим дополнением элемента  определителя матрицы называется его минор, взятый со знаком . Алгебраическое дополнение обозначается как , следовательно: .

    Пример 4.6. Найти минор и алгебраическое дополнение элемента   определителя матрицы: .

    Решение: 1) Элемент, для которого ищем минор и алгебраическое дополнение, находится на пересечении 2-ой строки и 3-го столбца: .

    2) Для нахождения его минора вычеркнем эти строку и столбец из определителя матрицы и запишем оставшиеся элементы: . 3) Тогда алгебраическое дополнение элемента  определится как: .

    Ответ: .

    Вычисление определителя квадратной матрицы произвольного порядка осуществляется согласно следующей теореме.

    Теорема 4.1 (теорема Лапласа). Определитель  матрицы  равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения: , где  - фиксировано. Данное выражение еще называют разложением определителя  по элементам строки с номером . Аналогично можно записать разложение определителя по элементам фиксированного столбца:

    .

    Пример 4.7. Вычислить определитель: .

    Решение: Для вычисления разложим определитель по элементам первой строки: .

    Ответ: .

    Пример 4.8. Вычислить определитель: .

    Решение: Для вычисления разложим определитель по элементам первой строки:

    Далее разложим каждый определитель 3-го порядка по элементам соответствующих первых строк:

    .

    Ответ: .

    Таким образом, вычисление определителя 3-го порядка сводится к вычислению трех определителей второго порядка. Вычисление определителя 4-го порядка сводится к вычислению четырех определителей третьего порядка и т.д. Можно сказать, что вычисление определителя -го порядка сводится к вычислению определителей меньшего порядка, но при этом, число этих определителей увеличивается. Такой способ является неэффективным.

    Приведем ряд свойств, которые позволяют определить другой способ вычисления определителя -го порядка.

    Определитель равен нулю, если содержит две одинаковые строки (или два одинаковых столбца) или нулевую строку (нулевой столбец).

    Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

    При умножении строки (столбца) на число определитель умножается на это число.

    Определитель не меняется, если к строке (столбцу) прибавить любую другую строку (столбец), умноженный на произвольное число.

    Определитель квадратной транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

    Определитель единичной матрицы равен единице: .

    Определитель произведения матриц равен произведению определителей: .

    Исходя из этих свойств, можно упростить вычисление определителя -го порядка, а именно, с их помощью определитель последовательно преобразуют к такому виду, чтобы в какой-нибудь строке (столбце) все элементы, кроме одного, стали нулевыми. Затем вычисляют определитель разложением по этой строке (столбцу).

    Пример 4.9. Вычислить определитель из предыдущего примера:

    .

    Решение: Задача состоит в том, чтобы получить как можно больше нулей в какой-нибудь из строк или столбцов, и, затем разложить по этой строке (столбцу) определитель. Получим нуль в первой строке в первом столбце. Для этого умножим элементы четвертого столбца на (-1) и сложим с элементами первого столбца, при этом определитель не изменится:

    {Умножим четвертый столбец на (-2) и сложим со вторым столбцом} {Теперь разложим по первой строке полученный определитель} {По аналогии с предыдущими рассуждениями преобразуем определитель третьего порядка так, чтобы элемент, находящийся в первой строке и первом столбце оказался равным нулю. Для этого сложим элементы первой и второй строк} {Получим еще один нуль. Это удобно сделать либо с элементами первой строки, либо первого столбца. В данном случае удобнее обнулить элемент во второй строке первом столбце. Для этого умножим вторую строку на (-1) и сложим с третьей строкой} {Разложим определитель по элементам первого столбца} .

    Ответ: .

    Как видим, ответ получился такой же, что и подтверждает идентичность приведенных способов вычисления определителей. Но во втором способе, фактически, вычисляется всего один определитель второго порядка.

    Используя данный способ легко вычислить определители матриц диагонального вида и треугольных матриц: он равен произведению элементов, расположенных на диагонали:

    Определители треугольных и диагональных матриц вычисляются как результат умножения всех диагональных элементов. Пусть матрицы  и  – две треугольные матрицы вида:

    , ,

    а матрица  – диагональная матрица вида:

    ,

    тогда определители этих матриц соответственно равны:

    , , .

    Определение 4.17. Квадратная матрица  называется обратной к матрице , если для этих матриц выполняются следующие условия: , , где  – единичная матрица.

    Обратную матрицу имеет только квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. Причем, определители прямой и обратной матриц связаны соотношением: , что следует из определения обратной матрицы.

    Если у матрицы не существует обратной (определитель равен нулю), то матрица называется вырожденной.

    Обратная матрица обладает свойствами:

    Если обратная матрица существует, то она единственна.

    Если матрица  является обратной для матрицы , то и матрица  является обратной для матрицы : .

    Если у квадратных матриц  и  существуют обратные им матрицы, то и у их произведения также существует обратная матрица, для которой справедливо соотношение: .

    Элементы обратной матрицы определяются следующим образом:

    Находится определитель прямой матрицы .

    Записывается транспонированная матрица .

    Находятся алгебраические дополнения для каждого элемента транспонированной матрицы и записываются в транспонированную матрицу вместо ее элементов: .

    Каждый элемент полученной матрицы делится на определитель прямой матрицы .

    Математика Решение систем линейных уравнений