Математика конспекты и примеры решения задач

Математика
  • Частные  производные сложной функции.
  • Дифференциал  сложной функции
  • Дифференцирование  неявных функций
  • Производная  по направлению
  • Градиент
  • Разложить на множители полином:
  • Основы векторной алгебры
  • Базис и разложение векторов
  • Скалярное произведение векторов
  • Определители 2-го и 3-го порядка
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • векторная алгебра
  • Аналитическая геометрия Уравнение линии
  • Примеры решения типовых задач:
    прямая на плоскости
  • Уравнение плоскости
  • прямая в пространстве
  • кривые второго порядка
  • Пример выполнения контрольной работы
  • Вычислить определитель матрицы 2-го порядка:
  • Найти матрицу обратную матрице
  • Решение систем линейных уравнений
  • Исследовать совместность
  • системы линейных уравнений
  • Введение в численные методы
  • Пример выполнения контрольной работы

    Задание 1. Определить скалярное произведение  векторов, если , , , , .

    Решение: Подставим в скалярное произведение выражения векторов через их базисы: , по свойствам скалярного произведения, имеем:

    . Ответ: .

    Задание 2. Вычислить , если , , , .

    Решение: Исходные вектора заданы через аффинный базис, поэтому, запишем их векторное произведение через соответствующие базисные вектора: {используя свойства векторного произведения, имеем} . Ответ: .

    Задание 3. Определить смешанное произведение , если , ,

    Решение: Так как векторы заданы в декартовом базисе, то смешанное произведение находится по формуле:

    .

    Ответ: .

    Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через точки  и .

    Решение: Обозначим точку с координатами  как , а точку с координатами  как , тогда каноническое уравнение прямой, проходящей через данные точки запишется в виде: .

    Преобразуем полученное уравнение:  .

    Ответ: .

    Задание 5. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через точку  параллельно оси  и перпендикулярно к плоскости .

    Решение: Обозначим нормаль плоскости  как , а нормаль искомой плоскости как . Так как искомая плоскость по условию задачи перпендикулярна плоскости , то их нормали будут также перпендикулярны .

    Возьмем на оси  единичный вектор . По условию искомая плоскость параллельна оси , значит, ее нормаль и единичный вектор будут перпендикулярны .

    По определению векторного произведения имеем:

    , откуда .

    Подставим в общее уравнение плоскости координаты ее точки и нормали, получаем:   или .

    Ответ: .

    Задание 6. Вывести общее уравнение плоскости, проходящей через точку  параллельно векторам  и .

    Решение: Пусть нормаль искомой плоскости есть . По условию задачи искомая плоскость параллельна заданным векторам, следовательно, ее нормаль перпендикулярна к ним:  и , и откуда следует, что нормаль есть их векторное произведение:

    , , откуда координаты нормали: . Подставим найденные координаты нормали и координаты фиксированной точки  в общее уравнение плоскости, получим: , или .

    Ответ: .

    Задание 7. Для гиперболы  найти действительную и мнимую полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет.

    Решение: Приведем исходное уравнение к каноническому виду:  или , откуда действительная полуось , мнимая полуось , эксцентриситет , координаты фокусов определяются значением величины :   и . Ответ: , , , , .

    Линейная алгебра

    В данном разделе рассматриваются такие объекты, как матрицы и действия над ними, а также определители, которые затем используются для решения систем линейных уравнений.

    Матрицы

    Определение 4.1.

    Матрицей размера  называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из  строк и   столбцов. Числа, из которых состоит матрица, называются ее элементами и нумеруются двумя индексами, обозначающими соответственно номер строки и номер столбца, в которых расположен этот элемент.

    В общем виде матрица обозначается так:

     или ,

    или кратко одной буквой , или , где первый индекс:  – индекс, обозначающий номер строки, второй индекс:  – номер столбца, в котором расположен элемент .

    В частности, если матрица содержит одну строку и несколько столбцов   матрица называется матрицей-строкой (или вектор-строка): .

    Если же матрица содержит несколько строк и один столбец , то матрица называется матрицей-столбцом (или вектором- столбцом):. Если , то матрицу называют квадратной порядка .

    Определение 4.2. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковую размерность и числа, стоящие на соответствующих местах этих матриц, равны.

    Определение 4.3. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается как .

    Определение 4.4. Единичной называют матрицу, у которой по главной диагонали расположены единицы, а все остальные элементы равны нулю: .

    Определение 4.5. Матрица , полученная из матрицы  заменой строк столбцами с теми же номерами и наоборот, называется транспонированной по отношению к матрице :

    Если , то .

    Определение 4.6. Треугольной называется матрица, у которой все элементы, расположенные ниже (или выше) элементов главной диагонали, равны нулю. Например,  и  – две треугольные матрицы:

    , .

    Определение 4.7. Диагональной называется матрица, у которой все элементы, кроме расположенных на главной диагонали, равны нулю:

    .

    Основные операции над матрицами

    Определение 4.8. Суммой матриц  и  одинаковой размерности называется матрица  такой же размерности, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц  и :

    .

    ( 4.1 )

    Обозначают операцию сложения как

    Пример 4.1. Найти сумму матриц  и , где , .

    Решение:

    Ответ:.

    Определение 4.9. Результатом умножения матрицы  на число  является матрица  (такой же размерности, что и исходная), у которой элементы равны соответствующим элементам исходной матрицы, умноженным на это число:  или

    Пример 4.2. Найти матрицу , где , .

    Решение: .

    Ответ: .

    Определение 4.10. Разность матриц  и  определяется через введенные выше операции: .

    Пример 4.3. Найти разность матриц :  и .

    Решение: .

    Ответ: .

    Определение 4.11. Пусть даны две матрицы   и  , причем число столбцов матрицы  равно числу строк матрицы . Произведением  на  называется матрица, элементы которой находятся по формуле: , .

    Пример 4.4. Найти произведение двух матриц:  и .

    Решение:  .

    Ответ: .

    Правило умножения матриц иногда формулируют так: чтобы получить элемент, стоящий в -той строке и -том столбце матрицы равной произведению двух матриц, нужно элементы -той строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы -того столбца второй матрицы и полученные произведения сложить. Отсюда становится понятно, что требование одинаковых размерностей по столбцам первой матрицы и строкам второй матрицы является важным условием для существования произведения этих матриц.

    В частности, при умножении вектора-строки и вектора-столбца одинаковой размерности получится число (равное скалярному произведению векторов): . Наоборот, если перемножить вектор-столбец на вектор-строку получится квадратная матрица: .

    Перечислим свойства операций над матрицами:

    1)

    2)

    3)

    4) Для матрицы :

    5)

    6)

    7)

    8) ;

    9) ;

    10)

    11)

    12)

    13) ; .

    14)

    15)

    16) Для любой квадратной матрицы .

    Замечание. Относительно свойств 12) и 13) заметим, что если действия, указанные по одну сторону равенств, возможны, то возможны и действия, указанные по другую сторону равенства, и результаты в обеих частях одинаковы.

    Определитель матрицы. Необходимость во введение понятия определителя связано с решением систем линейных уравнений. Обозначается определитель как , или , или .

    Определение 4.12. Определителем матрицы первого порядка , или определителем первого порядка называется элемент : .

    Определение 4.13. Определителем матрицы второго порядка  называется число, определяемое как разность между произведением элементов главной диагонали и произведением элементов побочной диагонали: .

    Математика Решение систем линейных уравнений