Математика конспекты и примеры решения задач

Математика
  • Частные  производные сложной функции.
  • Дифференциал  сложной функции
  • Дифференцирование  неявных функций
  • Производная  по направлению
  • Градиент
  • Разложить на множители полином:
  • Основы векторной алгебры
  • Базис и разложение векторов
  • Скалярное произведение векторов
  • Определители 2-го и 3-го порядка
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • векторная алгебра
  • Аналитическая геометрия Уравнение линии
  • Примеры решения типовых задач:
    прямая на плоскости
  • Уравнение плоскости
  • прямая в пространстве
  • кривые второго порядка
  • Пример выполнения контрольной работы
  • Вычислить определитель матрицы 2-го порядка:
  • Найти матрицу обратную матрице
  • Решение систем линейных уравнений
  • Исследовать совместность
  • системы линейных уравнений
  • Введение в численные методы
  • Примеры решения типовых задач: кривые второго порядка

    Задача 2.17

    Найти центр и радиус окружности, заданной уравнением .

     Решение: Приведем исходное уравнение к виду ( 2.2 ): выделим полные квадраты по  и , для этого разобьем свободный член на элементы:

    , или

    . Согласно уравнению ( 2.2 ) получаем Ответ: координаты центра , радиус=.

    Задача 2.18

    Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, описываемого уравнением .

    Решение:

    Приведем уравнение к виду ( 2.3 ): перепишем в виде:

    , откуда , .

    Определяем расстояние фокусов от центра:

    , то есть , .

    Эксцентриситет данного эллипса определяем по формуле:

    . Ответ: , , .

    Задача 2.19

    Написать уравнение гиперболы, если ее фокусы находятся в точках , , а длина ее действительной оси равна 1.

    Решение:

    Для записи уравнения гиперболы в виде ( 2.4 ) необходимо знать величины  и . Величина  по условию задачи (длина вещественной оси). Определим величину .

    Из условия задачи можно определить величину . Это первая координата фокуса, то есть .

    По формуле  определяем величину :

    Подставляем в уравнение ( 2.4 ), получаем Ответ: .

    Задача 2.20

    Вывести каноническое уравнение параболы, если известно, что ее вершина расположена в начале координат, она расположена симметрично оси , и проходит через точку .

    Решение:

    По условию парабола симметрична оси  и вершина расположена в центре координат, следовательно, для нахождения параметра параболы можно воспользоваться каноническим уравнением ( 2.5 ).

    Подставим в уравнение ( 2.5 ) координаты точки, через которую проходит парабола: , откуда .

    Следовательно, уравнение параболы можно записать как . Ответ: .

    Контрольная работа 1. Часть 1.

    При выполнении контрольных заданий обязательно указывать название темы и номер задания, даже если задание не выполнено.

    Вариант 1.1

    Задание 1. Определить скалярное произведение  векторов, если , , , , .

    Задание 2. Вычислить , если , , , .

    Задание 3. Определить смешанное произведение , если , ,

    Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через точки  и .

    Задание 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через две точки ,  перпендикулярно плоскости .

    Задание 6. Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами , , .

    Задание 7. Вывести каноническое уравнение параболы, если известно, что ее вершина расположена в начале координат, она расположена симметрично оси , и проходит через точку .

    Математика Решение систем линейных уравнений