Математика конспекты и примеры решения задач

Математика
  • Частные  производные сложной функции.
  • Дифференциал  сложной функции
  • Дифференцирование  неявных функций
  • Производная  по направлению
  • Градиент
  • Разложить на множители полином:
  • Основы векторной алгебры
  • Базис и разложение векторов
  • Скалярное произведение векторов
  • Определители 2-го и 3-го порядка
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • векторная алгебра
  • Аналитическая геометрия Уравнение линии
  • Примеры решения типовых задач:
    прямая на плоскости
  • Уравнение плоскости
  • прямая в пространстве
  • кривые второго порядка
  • Пример выполнения контрольной работы
  • Вычислить определитель матрицы 2-го порядка:
  • Найти матрицу обратную матрице
  • Решение систем линейных уравнений
  • Исследовать совместность
  • системы линейных уравнений
  • Введение в численные методы
  • Примеры решения типовых задач: прямая в пространстве

    Задача 2.12

    Написать канонические и параметрические уравнения прямой, образованной пересечением плоскостей  и .

    Решение: 1) Найдем координаты фиксированной точки. Из исходной системы уравнений  исключим . Положим , тогда: , откуда находим: , . Таким образом, нашли координаты фиксированной точки .

    2) Направляющий вектор определяется как векторное произведение нормалей двух плоскостей, образующих прямую:

     .

    3) Запишем канонические уравнения: , или .

    4) Обозначив , получаем параметрические уравнения:

    , , .

    Задача 2.13

    Найти уравнение прямой, проходящей через точки  и .

    Решение: 1) Возьмем в качестве фиксированной точки точку , тогда направляющий вектор определится как .

    2) Тогда канонические уравнения прямой запишутся как . 3) В случае, когда в знаменателе канонических уравнений получается нуль, полагают равным нулю числитель, то есть одна из плоскостей определится уравнением: . Ответ: .

    Задача 2.14

    Вычислить расстояние от точки  до прямой .

    Решение: 1) Для определения расстояния необходимо знать координаты фиксированной точки прямой и ее направляющий вектор, что можно определить сразу из заданного уравнения прямой:  и , тогда радиус-вектор фиксированной точки прямой , а длина . 2) Радиус-вектор исходной точки , тогда . 3) Найдем векторное произведение:

    ,

    откуда .

    4) Подставляем в формулу определения расстояния ( 2.4 ) найденные значения: . Ответ: .

    Задача 2.15

    Найти точку пересечения плоскости  с прямой, заданной общими уравнениями:

      .

    Решение: Решение сводится к решению системы трех уравнений с тремя неизвестными: , откуда находим , , .

    Ответ: .

    Задача 2.16

    Найти точку пересечения плоскости  с прямой, заданной каноническими уравнениями:.

    Решение: Можно было бы перейти от канонических уравнений к общему виду и свести задачу к рассмотренной в предыдущем примере. Но можно рассуждать и по-другому. Точка пересечения должна принадлежать и прямой и плоскости, то есть можно подставить выражения для  из канонического уравнения в уравнение плоскости и определить их.

    Перейдем к параметрическим уравнениям прямой:

    , откуда , , .

    Подставим найденные выражения в уравнение плоскости:

    , откуда .

    Подставляем в выражения для , находим ответ: , , . Ответ: искомая точка .

     Кривые второго порядка

    Всякую кривую второго порядка можно описать уравнением вида:

    ,

    ( 2.1 )

    где  – константы.

    В зависимости от соотношения этих констант получаются уравнения окружности, эллипса или гиперболы. В частности, если  и , уравнение ( 2.1 ) описывает уравнение окружности: , или, выделив полный квадрат:

    ,

    ( 2.2 )

    Если уравнение ( 2.1 ) разлагается на два линейных множителя, то оно определяет пару прямых, которые могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

    Определение 2.2. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух заданных точек плоскости, есть величина постоянная. Эти фиксированные точки плоскости называются фокусами эллипса.

    Рис. 2.7. Эллипс

    На Рис. 2.7 обозначены:  – вершины эллипса;  – большая ось ;  – малая ось ;  и  – фокусы эллипса, лежащие на большой оси по обе стороны от центра на расстоянии  от него;  – фокальный параметр (половина хорды, проведенной через фокус параллельно малой оси). Величина  – называется эксцентриситетом эллипса. Директрисы – это прямые, параллельные малой оси и находящиеся от нее на расстоянии .

    Каждое из расстояний от точки  до фокусов определяется по формулам: , , .

    Каноническое уравнение эллипса записывается как:

    ,

    ( 2.3 )

    Определение 2.3. Гиперболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, равная .

    Точки, для которых выполняется условие , принадлежат одной ветви гиперболы (на Рис. 2.8 - правой). Точки, для которых  принадлежат другой ветви гиперболы (на Рис. 2.8 - левой). На Рис. 2.8  – действительная полуось,  – мнимая полуось гиперболы ; прямые  – асимптоты гиперболы;  и  - фокусы гиперболы. Точки ,  называются вершинами гиперболы. Эксцентриситет гиперболы вычисляется по формуле ; прямые  перпендикулярны к действительной оси и называются директрисами гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы записывается следующим образом:

    .

    ( 2.4 )

    Определение 2.4. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) плоскости.

    Элементами параболы являются:  – ось параболы;  – параметр параболы - расстояние между фокусом и директрисой;  – вершина параболы;  – фокус параболы (точка, лежащая на расстоянии  от вершины); уравнение директрисы  (Рис. 2.9).

    Каноническое уравнение параболы записывается как:

    .

    ( 2.5 )

    Математика Решение систем линейных уравнений