Математика конспекты и примеры решения задач

Математика
  • Частные  производные сложной функции.
  • Дифференциал  сложной функции
  • Дифференцирование  неявных функций
  • Производная  по направлению
  • Градиент
  • Разложить на множители полином:
  • Основы векторной алгебры
  • Базис и разложение векторов
  • Скалярное произведение векторов
  • Определители 2-го и 3-го порядка
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • векторная алгебра
  • Аналитическая геометрия Уравнение линии
  • Примеры решения типовых задач:
    прямая на плоскости
  • Уравнение плоскости
  • прямая в пространстве
  • кривые второго порядка
  • Пример выполнения контрольной работы
  • Вычислить определитель матрицы 2-го порядка:
  • Найти матрицу обратную матрице
  • Решение систем линейных уравнений
  • Исследовать совместность
  • системы линейных уравнений
  • Введение в численные методы
  • Уравнение плоскости

    Пусть в декартовой системе координат имеется некоторая плоскость, проходящая через точку , ее радиус-вектор будет иметь координаты . Зададим на этой же плоскости точку  с радиус-вектором . Очевидно, что вектор  также будет находиться в заданной плоскости (Рис. 2.6).

    Рис. 2.6. Вектор  на плоскости

    Проведем перпендикуляр к плоскости . Скалярное произведение вектора  с эти перпендикуляром будет равно 0: , или, в координатах:

    .

    ( 2.1 )

    Преобразуем данное уравнение: раскроем скобки и сгруппируем известные координаты: , обозначив , получим уравнение плоскости в общей форме:

    ,

    ( 2.2 )

    где  – координаты любой точки на плоскости;  – координаты фиксированной точки на плоскости;  – координаты нормали к плоскости. Если все коэффициенты общего уравнения не равны нулю, то уравнение ( 2.2 ) можно привести к виду:

    .

    ( 2.3 )

    Уравнение плоскости в данном виде называется уравнением плоскости в отрезках; в уравнении приняты обозначения: , , ; отрезки  отсекаются плоскостью на осях координат.

    Итак, плоскость в пространстве, как и прямая на плоскости, задается уравнением первой степени относительно координат. Поэтому говорят, что плоскость есть поверхность первого порядка.

    Расстояние от точки  до поверхности, заданной формулой ( 2.3 ) определяется по формуле:

    ,

    ( 2.4 )

    Двугранный угол между плоскостями  и  совпадает с углом между их нормалями и вычисляется по формуле:

    ,

    ( 2.5 )

    Для ортогональных плоскостей будет справедливо утверждение:  или в координатной форме: .

    Для параллельных плоскостей выполняется условие пропорциональности координат нормалей: . В частности, если, кроме того, выполняется условие , то плоскости совпадают.

    Рассмотрим частные случаи расположения плоскости в декартовой системе координат.

    1. : нормаль к плоскости параллельна оси . Поскольку  для нормали  имеем  и уравнение ( 2.5 ) принимает вид: . В этом случае плоскость параллельна координатной оси .

    2. : проводя аналогичные рассуждения, получаем: , плоскость параллельная оси .

    3. : , плоскость параллельная оси .

    4. : вектор нормали лежит в плоскости , следовательно, плоскость параллельна оси . В этом случае , так как .

    5. , параллельна оси .

    6. , параллельна оси .

    7. : это возможно лишь в случае, когда плоскость проходит через начало координат. При этом  и плоскость задается уравнением , которому удовлетворяет точка .

    Математика Решение систем линейных уравнений