Математика конспекты и примеры решения задач

Математика
  • Частные  производные сложной функции.
  • Дифференциал  сложной функции
  • Дифференцирование  неявных функций
  • Производная  по направлению
  • Градиент
  • Разложить на множители полином:
  • Основы векторной алгебры
  • Базис и разложение векторов
  • Скалярное произведение векторов
  • Определители 2-го и 3-го порядка
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • векторная алгебра
  • Аналитическая геометрия Уравнение линии
  • Примеры решения типовых задач:
    прямая на плоскости
  • Уравнение плоскости
  • прямая в пространстве
  • кривые второго порядка
  • Пример выполнения контрольной работы
  • Вычислить определитель матрицы 2-го порядка:
  • Найти матрицу обратную матрице
  • Решение систем линейных уравнений
  • Исследовать совместность
  • системы линейных уравнений
  • Введение в численные методы
  • Примеры решения типовых задач: прямая на плоскости

    Задача 2.1

    Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки (1,2) и (-2,3).

    Решение: Обозначим точки соответственно  и ; согласно формуле ( 2.5 ) имеем: . Избавимся от дроби: . Раскрыв скобки и перенеся все члены в одну сторону, получаем: . Ответ: .

    Задача 2.2

    Составить уравнение прямой, проходящей через точку  параллельно прямой .

    Решение: Так как искомая прямая по условию задачи должна быть параллельной исходной, это значит, что они имеют один угол наклона к оси . Угол наклона исходной прямой можно определить из формулы ( 2.6 ): . Исходная прямая задана в общей форме, следовательно для нее ; ; подставляя значения коэффициентов исходной прямой, находим . Обозначим координаты точки  как , имеем , ; прямую, проходящую через эту точку, можно описать уравнением с угловым коэффициентом ( 2.7 ); подставим в него известные значения, получим: . Проведя несложные преобразования, получим искомое уравнение: .

    Замечание: можно было провести и другие рассуждения:

    Прямые должны быть параллельны, это значит, первые два коэффициента в уравнении у них должны быть одинаковы ( – имеет одно значение), следовательно, нужно найти только значение свободного члена ; по определению , где  – известны из исходного уравнения: ; , а  – координаты начального радиус-вектора.

    Нормаль у параллельных прямых – общая, значит, начальный радиус-вектор можно провести через заданную точку : ; подставив ее координаты в выражение для , получаем: .

    Подставляем в искомое уравнение, получаем искомое уравнение.

    Ответ: .

    Задача 2.3

    Составить уравнение прямой, проходящей через точку  перпендикулярно прямой .

    Решение: Искомая прямая является нормалью к заданной прямой, поэтому для решения можно использовать уравнение в канонической форме (формула ( 2.4 )). В формуле:  – координаты направляющего вектора исходной прямой, в нашем случае они совпадают по значению с коэффициентами  из исходного уравнения: ; .  – координаты заданной точки, то есть ; . Подставляя значения в формулу ( 2.4 ), получаем: . Решая данное уравнение, получаем ответ. Ответ: .

    Задача 2.4

    Две стороны квадрата лежат на прямых  и . Вычислить его площадь.

    Решение: Из заданных уравнений прямых следует, что они параллельны (коэффициенты  и  – одинаковы). Для нахождения длины стороны квадрата нужно найти расстояние от одной прямой до другой. Это можно сделать, взяв точку на одной прямой и определить расстояние от нее до другой прямой. Возьмем первую прямую: , пусть , подставив это значение в уравнение, получим уравнение относительно , откуда найдем . Таким образом, получим точку, принадлежащую первой прямой: .

    Расстояние от точки с известными координатами до прямой определяем с помощью формулы ( 2.11 ): .

    Теперь определяем площадь: . Ответ: .

    Задача 2.5

    По известным координатам вершин треугольника , ,  записать для его сторон уравнения в общем виде и уравнение в общем виде биссектрисы угла .

    Решение: Так как нам известны координаты вершин, то проще всего получить уравнение стороны в канонической форме – формула ( 2.4 ), от которого легко перейти к уравнению в общей форме. Для канонического уравнения нам нужны координаты точки, принадлежащей стороне и координаты направляющего вектора (параллельного рассматриваемому).

    Найдем уравнение стороны . В качестве точки прямой можно взять точку   с заданными координатами, а в качестве направляющего вектора – вектор . Найдем координаты вектора :

    Тогда каноническое уравнение стороны  запишется как: , или .

    Аналогично можно получить уравнения остальных сторон треугольника: для стороны : координаты вектора .

    Откуда каноническое уравнение: . Следовательно, общее уравнение: .

    Для стороны : координаты направляющего вектора .

    Каноническое уравнение: , или .

    Выведем общее уравнение для биссектрисы. Известно, что биссектриса делит угол пополам. Если на сторонах  и  треугольника отложить орты (соответственно   и ) и построить на них ромб, то диагональ ромба также поделит угол пополам (по своему свойству) и, значит, ее можно будет взять направляющей биссектрисы. Вектор, построенный на диагонали ромба, равен сумме векторов  и ).

    Для нахождения орта  необходимо знать координаты вектора :

    , откуда  и, соответственно   определится как:

     (Рис. 2.5).

    Рис. 2.5. Иллюстрация решения задачи 2.5

    Аналогично определим орт :

    ;

    . Теперь определим их сумму:

    .

    Тогда каноническое уравнение биссектрисы:

    .

    Ответ: .

    Математика Решение систем линейных уравнений