Математика конспекты и примеры решения задач

Математика
  • Частные  производные сложной функции.
  • Дифференциал  сложной функции
  • Дифференцирование  неявных функций
  • Производная  по направлению
  • Градиент
  • Разложить на множители полином:
  • Основы векторной алгебры
  • Базис и разложение векторов
  • Скалярное произведение векторов
  • Определители 2-го и 3-го порядка
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • векторная алгебра
  • Аналитическая геометрия Уравнение линии
  • Примеры решения типовых задач:
    прямая на плоскости
  • Уравнение плоскости
  • прямая в пространстве
  • кривые второго порядка
  • Пример выполнения контрольной работы
  • Вычислить определитель матрицы 2-го порядка:
  • Найти матрицу обратную матрице
  • Решение систем линейных уравнений
  • Исследовать совместность
  • системы линейных уравнений
  • Введение в численные методы
  • Примеры решения типовых задач: векторная алгебра

    Задача 1.1.

    Даны два вектора  и . Найти координаты вектора .

    Решение: Из свойства 1 следует, что , следовательно: .

    Ответ: .

    Задача 1.2

    Найти координаты вектора , соединяющего точку  с координатами  и точку  с координатами .

    Решение: Обозначим координаты точки  как , координаты точки  как . Из свойства 2 следует: вектор  имеет координаты . Подставляем исходные значения: .

    Ответ: .

    Задача 1.3

    Доказать, что два вектора  и  коллинеарны.

    Решение: Из свойства 3 следует, что для решения необходимо проверить выполнение равенства: . Подставим заданные значения координат: , откуда: . Равенство верно.

    Ответ: исходные вектора коллинеарны.

    Задача 1.4

    Задан вектор  и известно, что точка  имеет координаты . Найти координаты точки  – начала вектора.

    Решение: Введем обозначения:  – координаты вектора ,  – координаты точки ,  – координаты точки .

    Из свойства 2 следует, что для решения необходимо решить два уравнения: ; .

    Подставим известные величины: ; ; откуда искомые координаты: ; . Ответ: точка  имеет координаты .

    Задача 1.5

    Найти , если  и , где , , угол .

    Решение: Для решения необходимо знать длину векторов, что нам неизвестно, но даны данные по базису, поэтому перейдем от исходных векторов к базисным, подставим в формулу  выражения разложения векторов по базису:

     

    Преобразуем скалярное произведение согласно 2 и 6 свойству:

    Приведем подобные члены в полученном выражении и применим 3-е свойство скалярного произведения:

    Вставим исходные данные и распишем формулу скалярного произведения базисных векторов:

    . Ответ: 99.

    Задача 1.6

    Для векторов  и  найти их проекции друг на друга:  и  в декартовой системе координат.

    Решение: Для определения проекции  найдем скалярное произведение векторов; для декартовой системы координат справедлива формула: . Подставляем исходные координаты: . Найдем длину , из формулы для декартовых координат имеем: . Подставим найденные значения в искомую формулу: . Аналогично найдем вторую проекцию: . Ответ: ; .

    Задача 1.7

    Определить в декартовой системе координат угол между вектором   с координатами {4, 1, 1} и вектором   с координатами {2, 2, -1}.

    Решение: Для вычисления угла по формуле  необходимо определить длины векторов и их скалярное произведение.

    . Определяем длины векторов ; . Подставляем в формулу: . Решая данное тригонометрическое уравнение, получим: . Ответ: .

    Перед рассмотрением таких операций над векторами, как векторное и смешанное произведения, введем понятие определителя. С помощью определителя векторное и смешанное произведения можно представить через координаты векторов.

    Задача 1.8

    Определить длину вектора , если координаты вектора  и вектора  заданы в декартовой системе координат.

    Решение: Сначала находим координаты вектора  по формуле для определителя:

    . Теперь по формуле вычисления длины вектора через его декартовы координаты имеем: .

    Ответ: .

    Задача 1.9

    Найти длину вектора , если координаты вектора  и вектора  заданы в аффинной системе координат с базисом: , , .

    Решение: Разложим исходные вектора по базису: ; . Подставим в выражение для  и используем свойства векторного произведения:

    .

    По формуле длины векторного произведения имеем:

    . Ответ: .

    Задача 1.10

    Вычислить площадь параллелограмма, две стороны которого образованы векторами , , .

    Решение: Площадь параллелограмма равна длине векторного произведения векторов, соответствующих двум соседним сторонам этого параллелограмма:  . Длину векторов в декартовых координатах вычисляем по формуле: ; ; Подставляем в искомую формулу:

    . Ответ: .

    Задача 1.11

    Вычислить смешанное произведение , если , , .

    Решение: Так как вектора заданы в декартовой системе координат, то можно воспользоваться формулой представления смешанного произведения через определитель 3-го порядка, а отсутствующие координаты в разложениях заменить нулем:

    . Ответ: –25.

    Задача 1.12

    При каких значениях параметра  (если таковые существуют) вектора  и  являются коллинеарными?

    Решение: Два вектора коллинеарны, тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно 0; нам известны координаты векторов в декартовой системе координат, поэтому распишем векторное произведение:

    , которое должно быть равно нулю. Поэтому составляем следующее уравнение: . Вектор  является базисным, поэтому он не может быть равным нулю, откуда: . Решая данное уравнение относительно параметра , получаем: . Ответ: при  векторы  и  коллинеарны.

    Задача 1.13

    При каком , если оно существует, векторы ,  и  компланарны?

    Решение: С одной стороны, вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю; с другой стороны можно расписать смешанное произведение через определитель 3-го порядка, откуда получаем: . Раскрываем определитель

    . Это выражение должно быть равно нулю: . Решая данное уравнение относительно , получаем: . Ответ: при  исходные векторы компланарны.

    Задача 1.14

    Смешанное произведение . Найти смешанное произведение .

    Решение: Согласно определению смешанного произведения:

    {Используя свойства векторного произведения, имеем}{Так как , получаем}{По свойствам скалярного произведения}

    {По определению смешанного произведения выражение преобразуется}

    {В смешанном произведении неважен порядок векторного и скалярного произведения, поэтому выражение можно преобразовать}

    {Так как , получаем}{Произведя циклическую перестановку членов смешанного произведения и учитывая знак, имеем}

    {Используя тот факт, что , полчаем ответ}.

    Ответ: .

    Математика Решение систем линейных уравнений