Математика конспекты и примеры решения задач

Математика
  • Частные  производные сложной функции.
  • Дифференциал  сложной функции
  • Дифференцирование  неявных функций
  • Производная  по направлению
  • Градиент
  • Разложить на множители полином:
  • Основы векторной алгебры
  • Базис и разложение векторов
  • Скалярное произведение векторов
  • Определители 2-го и 3-го порядка
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • векторная алгебра
  • Аналитическая геометрия Уравнение линии
  • Примеры решения типовых задач:
    прямая на плоскости
  • Уравнение плоскости
  • прямая в пространстве
  • кривые второго порядка
  • Пример выполнения контрольной работы
  • Вычислить определитель матрицы 2-го порядка:
  • Найти матрицу обратную матрице
  • Решение систем линейных уравнений
  • Исследовать совместность
  • системы линейных уравнений
  • Введение в численные методы
  • Векторное и смешанное произведения векторов

    Определение 1.17. Векторным произведением двух ненулевых векторов   и  называется вектор, обозначаемый как , удовлетворяющий условиям:

    - вектор  перпендикулярен векторам  и ;

    - длина  равна , где ;

    - векторы , ,  образуют правую тройку, то есть если векторы , ,  приведены к общему началу, то из конца  поворот от вектора  к вектору  на меньший угол происходит против часовой стрелки (Рис. 1.7).

    Рис. 1.7. Векторное произведение двух ненулевых векторов

    Векторное произведение обладает свойствами:

    1) векторное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тгда и только тогда, когда они коллинеарны, в частности ;

    2) , где  – скаляр;

    3) ;

    4) ;

    5) длина  равна площади параллелограмма, построенного на векторах  и , приведенных к одной точке;

    6) если координаты векторов  и  известны в декартовом базисе  как  и , то их векторное произведение можно представить в виде:

    .

    Определение 1.18. Смешанным произведением трех ненулевых некомпланарных векторов , ,  называется число, равное скалярному произведению вектора  и .

    Обозначается смешанное произведение как  или .

    Смешанное произведение обладает следующими свойствами:

    1) геометрически смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах и взятого со знаком «+», если  – правая тройка и со знаком «–», если   – левая тройка;

    2) в смешанном произведении неважно, в каком порядке брать векторное и скалярное произведение: ,

    но при перестановке двух сомножителей меняется знак: ;

    3) три вектора компланарны, тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю;

    4) если координаты векторов ,  и  известны в декартовом базисе  как ,  и , то их векторное произведение можно представить в виде:

    .

    Пример 1.8. Вычислить координаты вектора , если известны декартовы координаты:   и .

    Решение: По формуле, выражающей векторное произведение через декартовы координаты имеем:  

    .

    Ответ: координаты вектора .

    Пример 1.9. Вычислить , если , .

    Решение: Так как у векторов  и  третья координата не задана, то можно выразить векторное произведение через определитель 3-го рода, подставив вместо нее нули: .

    Ответ: .

    Математика Решение систем линейных уравнений