Математика конспекты и примеры решения задач

Математика
  • Частные  производные сложной функции.
  • Дифференциал  сложной функции
  • Дифференцирование  неявных функций
  • Производная  по направлению
  • Градиент
  • Разложить на множители полином:
  • Основы векторной алгебры
  • Базис и разложение векторов
  • Скалярное произведение векторов
  • Определители 2-го и 3-го порядка
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • векторная алгебра
  • Аналитическая геометрия Уравнение линии
  • Примеры решения типовых задач:
    прямая на плоскости
  • Уравнение плоскости
  • прямая в пространстве
  • кривые второго порядка
  • Пример выполнения контрольной работы
  • Вычислить определитель матрицы 2-го порядка:
  • Найти матрицу обратную матрице
  • Решение систем линейных уравнений
  • Исследовать совместность
  • системы линейных уравнений
  • Введение в численные методы
  • Частные производные сложных функций. дифференциалы сложных функций

    1. Частные производные сложной функции.

    Пусть  – функция двух переменных, аргументы которой   и , сами являются функциями двух или большего числа переменных. Например, пусть .

    Тогда  будет сложной функцией независимых переменных   и , переменные  и  будут для нее промежуточными переменными. Как в этом случае найти частные производные функции  по  и ?

    Можно, конечно,  выразить непосредственно через  и :

    и искать частные производные от получившейся функции. Но выражение   может оказаться очень сложным, и нахождение частных производных  потребует тогда больших усилий.

    Если функции  дифференцируемы, то найти  и  можно не прибегая к непосредственному выражению   через  и . В этом случае будут справедливы формулы

       (5.1)

    Действительно, дадим аргументу   приращение  – const. Тогда функции  и  получат приращения 

    ,

    ,

    а функция  получит приращение

    ,

    где  ,  – бесконечно малые при . Разделим все члены последнего равенства на . Получим:

    .

    Так как по условию функции  и  дифференцируемы, то они непрерывны. Следовательно, если  , то   и . А значит, переходя в последнем равенстве к пределу при  получим:

    ,

     

    (так как ,  – бесконечно малые при ).

    Аналогично доказывается и второе равенство из  (5.1).

    ПРИМЕР. Пусть , где . Тогда  является сложной функцией независимых переменных   и . Для нахождения ее частных производных воспользуемся формулой (5.1). Имеем

      

      

      

    Подставляя в (5.1), получаем

    ,

    .

    Формулы  (5.1) естественным образом обобщаются на случай функции большего числа независимых и промежуточных аргументов. А именно, если ,

    где ,

    ,

    ………………………

    ,

    и все рассматриваемые функции дифференцируемы, то для любого   имеет место равенство

    .

    Возможен также случай, когда аргументы функции  являются функциями только одной переменной,  т.е.

    .

    Тогда   будет являться сложной функцией только одной переменной   и можно ставить вопрос о нахождении производной . Если функции  дифференцируемы, то она может быть найдена по формуле  (5.2)

    ПРИМЕР. Пусть , где . Здесь  является сложной функцией одной независимой переменной  . Пользуясь формулой (5.2) получим

    .

    И, наконец, возможен случай, когда роль независимой переменной играет , т.е. ,

    где .

    Из формулы (5.2) тогда получаем

       (5.3)

    (так как ). Производная , стоящая в формуле (5.3) справа – это частная производная функции  по . Она вычисляется при закрепленном значении .  Производная  в левой части формулы  (5.3) называется полной производной функции . При ее вычислении учтено, что   зависит от  двояким образом: непосредственно и через второй аргумент .

    ПРИМЕР. Найти  и  для функции , где .

    Имеем .

    Для нахождения  воспользуемся формулой (5.3). Получим

    .

    И в заключение этого пункта заметим, что формулы  (5.2) и (5.3) легко обобщить на случай функций с большим числом промежуточных аргументов. 

    Математика Решение систем линейных уравнений