Начертательная геометрия типовые задачи и методика решений

Начертательная геометрия
  • Ортогональное  (прямоугольное) проецирование
  • Комплексный чертеж
  • Комплексный чертеж прямой
  • Взаимное положение точек и прямых,
    их принадлежность плоскости
  • Принадлежность точки и прямой плоскости
  • Определение расстояния между двумя точками
  • Нахождение натуральной величины плоской фигуры
  • Построение точки пересечения прямой с плоскостью
  • Взаимное положение плоскостей
  • Метрические задачи
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Касательная плоскость и нормаль к поверхности
  • Определение расстояний
  • Определение расстояния
    между скрещивающимися прямыми
  • Угол между прямой и плоскостью
  • Угол между плоскостями
  • Кривая линия
  • Понятие поверхности.
  • Линейчатая поверхность
  •  Гранные поверхности и многогранники
  • Принадлежность точки и линии поверхности вращения
  • Пересечение поверхности и плоскости
  •   Пересечение поверхностей
  • Способ концентрических сфер
  • Пересечение поверхностей второго порядка
  • Развертки гранных поверхностей
  • Приближенные развертки
    развертывающихся поверхностей
  • Условные развертки неразвертывающихся
    поверхностей
  • Аксонометрические проекции
  • Ортогональная (прямоугольная) диметрическая проекция
  • МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
  • Проецирование точки на две и три плоскости проекций
  • Задание прямой в пространстве
  • Длина отрезка прямой и углы наклона прямой
    к плоскостям проекции
  • Задание плоскости
  • Признаки принадлежности точки и прямой плоскости
  • ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
  • ПРЯМАЯ ЛИНИЯ,
    ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ К ПЛОСКОСТИ
  • Замена плоскостей проекций
  • Метод плоскопараллельного перемещения
  • Решение методом вращения вокруг проецирующей оси
  • Сечение многогранников плоскостью
  • Поверхность вращения общего вида
  • ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
  • Плоскость, касательная к поверхности
  • Примеры задачь
  • Определить натуральную длину отрезка АВ
  • Построить проекции линии пересечения двух плоскостей
  • Построение эпюра параллельных плоскостей
  • Построить линию пересечения двух плоскостей
  • Построить горизонтальную проекцию плоской линии,
  • Построить на развертке цилиндра линию,
    принадлежащую поверхности цилиндра 
  •   Построить пересечение двух поверхностей вращения
  • КОМПАС-3D
  • Задание: построить проекции и натуральную величину фигуры сечения поверхности конуса плоскостью Р (рис. 11.6). Построить развёртку усечённой части боковой поверхности конуса.

    Решение: на рис. 11.6 изображены прямой круговой конус и секущая плоскость Р общего положения. Ось конуса расположена перпендикулярно к плоскости П1 основание конуса лежит на плоскости П1.

    Решение задачи значительно упростится, если секущая плоскость Р будет проецирующего положения. Для этого преобразуют эпюр

    способом перемены плоскостей проекций так, чтобы секущая плоскость Р стала фронтально проецирующей. Замену фронтальной плоскости проекций производят для того, чтобы ось конуса осталась перпендикулярной к плоскости П1.

    Преобразованный эпюр показывает, что секущая плоскость пересекает только боковую поверхность конуса, а основание не пересекает.

    Для нахождения проекций сечения необходимо найти проекции эллипса, получаемого от сечения конической поверхности плоскостью.

    На фронтальную плоскость проекции П4 эллипс проецируется в отрезок [А4В4]. Точки А и В являются низшей и высшей точками эллипса сечения плоскости с конической поверхностью, т. е. концами большой оси эллипса. А4В4 — натуральная величина большой оси эллипса. Малая ось эллипса перпендикулярна к большой оси и делит её пополам. Большая ось эллипса А1B1 параллельна плоскости проекций П4, а малая ось перпендикулярна П4 и проецируется на неё в точку (1424). Затем задают на эллипсе сечения ещё ряд точек (3, 4, 5, 6, 7, 8). По их фронтальным проекциям на плоскость П4 находят горизонтальные проекции (проводя через точки на конической поверхности образующие). По горизонтальным проекциям находят фронтальные проекции на плоскость проекций П2 (проводя фронтали через проекции точек 11 З1 51 71).

    Для нахождения границы видимости кривой на фронтальной проекции находят проекции очерковых образующих, на которых лежат искомые точки, на фронтальную плоскость проекций П4. На пересечении этих образующих с плоскостью Р и будут искомые точки (проекции 94 и 104). По проекциям 94 и 104 находят горизонтальные проекции 91 и 101 а затем фронтальные проекции 92 и 102. Видимая часть кривой на фронтальной проекции - от точки 10 через точки А, 5, 1, 3, 7 до точки 9. Остальная часть невидимая.

    Развёртка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой сектор круга, радиус которого равен образующей конуса (рис. 11.7). Центральный угол сектора подсчитывается по формуле

    где  - радиус окружности основания конуса;

    L - длина образующей конуса.

    Чтобы избежать вычислений, связанных с определением длины Дуги сектора или угла (р, обычно вписывают в основание конуса правильный многоугольник (в данном случае 12-угольник) и затем, опи-ав из произвольной точки S дугу радиусом L, откладывают последовательно из любой её точки количество дуг, равное сторонам много угольника. Таким образом, развёртку боковой поверхности прямого кругового конуса заменяют, с достаточной для практики точностью развёрткой правильной пирамиды, вписанной в данный конус. 

    Для нанесения на развёртку боковой поверхности конуса линии сечения (рис. 11.7) переносят на развёртку точки пересечения с секущей плоскостью 12 образующих конуса, которые заменены рёбрами 12-угольной правильной пирамиды. Соединив полученные точки плавной кривой, получают развёртку усечённой части боковой поверхности конуса.

     11.4.7 Задание: построить проекции фигуры сечения сферы плоскостью Р (рис. 11.10).

    Решение: плоскость Р является фронтально проецирующей. На фронтальную плоскость проекций окружность (фигура сечения) проецируется в виде отрезка прямой, на горизонтальную - в виде эллипса. Эллипс строят с помощью точек. Точки 1 и 2 расположены на главном меридиане сферы, а точки 3 и 4 - на экваторе сферы. Для нахождения верхней и нижней (экстремальных) точек 5 и 6 определяют их фронтальные проекции 52 и 62, которые находятся в середине фронтальной проекции отрезка [1222]. Через фронтальные проекции точек проводят фронтальную проекцию окружности n2 (на плоскость П2 она проецируется в прямую линию). Рассечение от оси сферы до очерковой образующей определяет радиус окружности R'. Этим радиусом строят горизонтальную проекцию окружности п1 и на ней находят проекции точек 5 и 6 - 51 и 61. Промежуточные точки 7 и 8 определяют аналогичным способом.

    11.4.8 Задание: построить проекции и истинную величину фигуры сечения сферы плоскостью общего положения Р (P1 и Р2). Построить развёртку поверхности сферы (рис. 11.11).

    Решение: для решения задачи плоскость общего положения Р(Р1 Р2) преобразуют способом замены плоскостей проекций в проецирующую. Заменяют фронтальную плоскость проекции П2 на П4- Проводят ось х1 перпендикулярно к горизонтальному следу pi плоскости Р. Строят плоскость Р в новой системе плоскостей П1/П4. Для этого берут на фронтальном следе Р2 плоскости Р произвольную точку Е (Е2). Находят горизонтальную проекцию e1 точки Е, затем строят проекцию точки Е и в системе П1/ П4. Через проекцию Е4 и точку схода следов на оси jq проводят фронтальный след Р4 плоскости проекцию сферы переносят в систему П1/II4. Для этого проводят через горизонтальную проекцию 01, центра 0 сферы линию проекционных связей перпендикулярно к оси x1 и отмечают на ней (на линии проекционных связей) координату z точки 0. Полученную проекцию обозначают 04. Затем строят проекцию сферы заданного радиуса в системе П1П4. После преобразования плоскости Р в проецирующее положение задача сводится к решению предыдущей задачи (см. п. 11.4.7), т. е. сначала строят горизонтальную проекцию фигуры сечения, а затем, используя признак принадлежности точки плоскости, строят фронтальную проекцию фигуры сечения сферы плоскостью общего положения.

    Для определения натуральной величины фигуры сечения сферы необходимо выполнить вторую замену плоскостей проекций (рис. 11.11). С этой целью преобразовывают плоскость сечения Р в плоскость уровня. Для этого проводят ось Х2 параллельно фронтальному следу Р4. Проецируют центр окружности 0 в систему П4 /П5, отложив координату у' от оси х2 в направлении проецирования, и отмечают проекцию 05. Натуральная величина окружности строится радиусом R, равным половине отрезка [1424].

    Поверхность сферы не может быть развёрнута точно. Для неё строят приближённую развёртку (рис. 11.12).

    Поверхность сферы разбивается на равное число частей (рис. 11.12, а), например, на 16. Разбивку производят плоскостями, проходящими через один из диаметров шара MN.

    Каждую часть поверхности сферы, находящуюся между двумя смежными плоскостями, заменяют частью цилиндрической поверхности с осью, проходящей через центр сферы и перпендикулярной к диаметру MN. Диаметр цилиндрической поверхности принимают равным диаметру сферы.

    Для наглядности ниже рассмотрено построение только одной из частей поверхности сферы, расположенной между плоскостями Р и .

    Выделенную часть поверхности сферы заменяют цилиндрической осью (, которая перпендикулярна к диаметру MN и плоскости дуги 15. Дугу 15 делят на равные части (в каждом случае - на четыре). Для построения развёртки откладывают на вертикальной прямой отрезки, равные хордам данных дуг. Величины этих хорд с достаточной степенью точности можно считать равными величинам дуг. По горизонтальной прямой откладывают величины соответствующих образующих цилиндрической поверхности. Полученные точки соединяют кривой линией (рис. 11.12,6).

    СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ