Начертательная геометрия типовые задачи и методика решений

Начертательная геометрия
  • Ортогональное  (прямоугольное) проецирование
  • Комплексный чертеж
  • Комплексный чертеж прямой
  • Взаимное положение точек и прямых,
    их принадлежность плоскости
  • Принадлежность точки и прямой плоскости
  • Определение расстояния между двумя точками
  • Нахождение натуральной величины плоской фигуры
  • Построение точки пересечения прямой с плоскостью
  • Взаимное положение плоскостей
  • Метрические задачи
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Касательная плоскость и нормаль к поверхности
  • Определение расстояний
  • Определение расстояния
    между скрещивающимися прямыми
  • Угол между прямой и плоскостью
  • Угол между плоскостями
  • Кривая линия
  • Понятие поверхности.
  • Линейчатая поверхность
  •  Гранные поверхности и многогранники
  • Принадлежность точки и линии поверхности вращения
  • Пересечение поверхности и плоскости
  •   Пересечение поверхностей
  • Способ концентрических сфер
  • Пересечение поверхностей второго порядка
  • Развертки гранных поверхностей
  • Приближенные развертки
    развертывающихся поверхностей
  • Условные развертки неразвертывающихся
    поверхностей
  • Аксонометрические проекции
  • Ортогональная (прямоугольная) диметрическая проекция
  • МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
  • Проецирование точки на две и три плоскости проекций
  • Задание прямой в пространстве
  • Длина отрезка прямой и углы наклона прямой
    к плоскостям проекции
  • Задание плоскости
  • Признаки принадлежности точки и прямой плоскости
  • ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
  • ПРЯМАЯ ЛИНИЯ,
    ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ К ПЛОСКОСТИ
  • Замена плоскостей проекций
  • Метод плоскопараллельного перемещения
  • Решение методом вращения вокруг проецирующей оси
  • Сечение многогранников плоскостью
  • Поверхность вращения общего вида
  • ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
  • Плоскость, касательная к поверхности
  • Примеры задачь
  • Определить натуральную длину отрезка АВ
  • Построить проекции линии пересечения двух плоскостей
  • Построение эпюра параллельных плоскостей
  • Построить линию пересечения двух плоскостей
  • Построить горизонтальную проекцию плоской линии,
  • Построить на развертке цилиндра линию,
    принадлежащую поверхности цилиндра 
  •   Построить пересечение двух поверхностей вращения
  • КОМПАС-3D
  • Решение методом вращения вокруг проецирующей оси

    (рис. 9.10).

    Задача решается в два этапа. На первом этапе выполняют вращение так, чтобы плоскость треугольника ABC преобразовалась в проецирующую плоскость, т.е. стала перпендикулярна к одной из плоскостей проекций. Для этого на фронтальной проекции чертежа проводят горизонталь h2 через точку А2. Затем строят горизонтальную проекцию h1 горизонтали h через точки A1 и 11 Через точку 1 проводят ось i - ось вращения треугольника так, чтобы она была перпендикулярна к П1. На фронтальной проекции через вершины А2 и В2 проводят горизонтальные плоскости уровня 2 и 2. Вершина С принадлежит плоскости П1 поэтому ее плоскостью вращения будет плоскость проекций П1. На горизонтальной проекции, взяв за центр вращения проекцию i1 поворачивают горизонталь А так, чтобы на плоскость П2 она спроецировалась в точку. На чертеже это выразится тем, что h'1 займет новое положение - перпендикулярно к оси х. При этом на фронтальной проекции точка А2 перемещается по следу плоскости 2 до пересечения с линией связи, проведенной через точку a'1. На горизонтальной проекции поворачиваем оставшиеся вершины В и С вокруг оси так, чтобы . На фронтальной проекции вершина В перемещается по следу плоскости 2, а вершина С - по оси х. Соединив новое положение всех вершин треугольника ABC, получают проекцию А'2В'2С'2, сливающуюся в линию. Этим достигают проецирующего положения треугольника ABC. На данном этапе, при необходимости, находят угол наклона плоскости треугольника ABC к П1 - .

    На втором этапе проводят ось i` через вершину С так, чтобы ось была фронтально проецирующая. При этом С'2 = /'2, а горизонтальная проекция i'1 пройдет через проекцию С'1. Вокруг оси поворачивают треугольник так, чтобы он стал параллелен горизонтальной плоскости проекций. В данной задаче вращают точки А'2 и В'1, вокруг i`2 = С'2 до совмещения с осью х, при этом горизонтальные проекции B'1 и A'1 будут перемещаться в горизонтально проецирующихся плоскостях уровня  и P1 и займут новое положение В"1, и А"1 вершина С останется на месте. Соединив новые точки между собой, получают треугольник ABC в натуральную величину.

    3) Решение методом плоскопараллельного перемещения

    (рис. 9.11).

    Задача решается в два этапа. На первом этапе преобразовывают чертеж так, чтобы плоскость треугольника ABC стала перпендикулярна к одной из плоскостей проекций, т.е. должна в себе содержать прямую, перпендикулярную к этой плоскости. Для этого проводят в

    плоскости треугольника горизонталь h (фронтальная проекция А212 // х, а горизонтальная — A111). Каждую вершину треугольника заключают в свою плоскость уровня, параллельную плоскости П1. В рассматриваемом примере вершина С принадлежит плоскости проекций П1, А принадлежит плоскости , а В — плоскости А.

    Плоскость треугольника перемещается в пространстве до тех пор, пока горизонталь h1 треугольника не станет перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций П2. Для этого на произвольном расстоянии от оси х вычерчивают горизонтальную проекцию треугольника A1B1C1 с условием, что П2, а значит  х. При этом вершины треугольника, перемещаясь каждая в своей плоскости, займут новое положение - А'2В'2С'2. Соединив эти точки, получают новое положение треугольника ABC, спроецированного в линию, т.е. перпендикулярного к плоскости П2.

    На втором этапе, чтобы получить натуральную величину треугольника ABC, его плоскость поворачивают до тех пор, пока она не будет параллельна одной из плоскостей проекций. В рассматриваемом решении фронтальную проекцию треугольника А'2В'2С'2 располагают на произвольном расстоянии от оси х параллельно плоскости П1. При этом вершины А, В и С треугольника заключают в горизонтально проецирующие плоскости , Т, Р. По следам этих плоскостей будут перемещаться горизонтальные проекции вершин А'1 В'1 С'1. От нового положения фронтальной проекции А"2В"2С"2 проводят линии проекционной связи до пресечения с соответствующими следами плоскостей, в которых они перемещаются (,T1,P1), и получают точки А"1 В"1 C"1. Соединив эти точки между собой, получают треугольник ABC в натуральную величину.

    4) Решение методом вращения вокруг линии уровня (рис. 9.12).

    Для решения задачи этим способом необходимо повернуть плоскость треугольника вокруг линии уровня, в данном случае вокруг горизонтали, в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекции. Через точку А в плоскости треугольника ABC проводят горизонталь h, фронтальная проекция которой будет параллельна оси х. Отмечают точку 12 и находят ее горизонтальную проекцию 11. Прямая A111 является горизонтальной проекцией h1 горизонтали h. Вокруг горизонтали будут вращаться точки В и С. Для определения радиуса вращения точки С на горизонтальной проекции проводят перпендикуляр C1O1 A111 точка О1, является центром вращения точки С.

    Для определения натуральной величины радиуса вращения строят прямоугольный треугольник, в котором O1C1 - один из катетов. Второй катет - разность координат  отрезка О2С2, взятого с фронтальной проекции. В построенном треугольнике гипотенуза O1C0 - натуральная величина радиуса вращения.

    На продолжении перпендикуляра O1C1 откладывают |RBp.| и получают новое положение вершины С после вращения — С0. Вторая вершина В0 получается пересечением луча C011 и перпендикуляра к горизонтальной проекции h1 проведенного через точку b1.

    Треугольник A1B0C0 есть искомая натуральная величина треугольника ABC.

    5) Решение методом совмещения (рис. 9.13).

    Для решения задачи методом совмещения необходимо построить следы плоскости , которой принадлежит треугольник ABC. Для этого проводят в плоскости треугольника ABC фронталь  и находят горизонтальный след этой фронтали – N1. По условию задачи вершина С треугольника принадлежит горизонтальной плоскости проекций П1. Тогда горизонтальный след плоскости  проводят через точки n1 и C1. Соединив эти две точки и продлив отрезок до пересечения с осью х, находят точку схода следов . Учитывая свойство, что все фронтали плоскости параллельны ее фронтальному следу, фронтальный след 2 плоскости  проводят через точку  параллельно фронтали .

    Для нахождения натуральной величины треугольника ABC необходимо построить совмещенное положение плоскости  с горизонтальной плоскостью проекций П1. Для этого через вершину А проводят горизонталь h1. На фронтальном следе 2 фиксируют точку 22. Ее горизонтальная проекция - точка 21. Точка 2 вращается в плоскости, перпендикулярной к горизонтальному следу плоскости . Поэтому, чтобы построить точку 2 в совмещенном положении 20, проводят из 21 перпендикуляр к горизонтальному следу , а из центра  дугу окружности радиусом  до пересечения с направлением перпендикуляра. Соединив  с 20, получают совмещенное положение фронтального следа - Далее через точку 2о проводят горизонталь ha в совмещенном положении. На этой горизонтали находят точку А0, проведя перпендикуляр из точки a1 к горизонтальному следу .

    По такой же схеме строят совмещенное положение точки В0. Совмещенное положение точки С совпадает с ее горизонтальной проекцией С1 т.е. . Соединив построенные точки, получают треугольник А0В0С0 - это и есть натуральная величина треугольника ABC.

    СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ