Начертательная геометрия типовые задачи и методика решений

Начертательная геометрия
  • Ортогональное  (прямоугольное) проецирование
  • Комплексный чертеж
  • Комплексный чертеж прямой
  • Взаимное положение точек и прямых,
    их принадлежность плоскости
  • Принадлежность точки и прямой плоскости
  • Определение расстояния между двумя точками
  • Нахождение натуральной величины плоской фигуры
  • Построение точки пересечения прямой с плоскостью
  • Взаимное положение плоскостей
  • Метрические задачи
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Касательная плоскость и нормаль к поверхности
  • Определение расстояний
  • Определение расстояния
    между скрещивающимися прямыми
  • Угол между прямой и плоскостью
  • Угол между плоскостями
  • Кривая линия
  • Понятие поверхности.
  • Линейчатая поверхность
  •  Гранные поверхности и многогранники
  • Принадлежность точки и линии поверхности вращения
  • Пересечение поверхности и плоскости
  •   Пересечение поверхностей
  • Способ концентрических сфер
  • Пересечение поверхностей второго порядка
  • Развертки гранных поверхностей
  • Приближенные развертки
    развертывающихся поверхностей
  • Условные развертки неразвертывающихся
    поверхностей
  • Аксонометрические проекции
  • Ортогональная (прямоугольная) диметрическая проекция
  • МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
  • Проецирование точки на две и три плоскости проекций
  • Задание прямой в пространстве
  • Длина отрезка прямой и углы наклона прямой
    к плоскостям проекции
  • Задание плоскости
  • Признаки принадлежности точки и прямой плоскости
  • ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
  • ПРЯМАЯ ЛИНИЯ,
    ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ К ПЛОСКОСТИ
  • Замена плоскостей проекций
  • Метод плоскопараллельного перемещения
  • Решение методом вращения вокруг проецирующей оси
  • Сечение многогранников плоскостью
  • Поверхность вращения общего вида
  • ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
  • Плоскость, касательная к поверхности
  • Примеры задачь
  • Определить натуральную длину отрезка АВ
  • Построить проекции линии пересечения двух плоскостей
  • Построение эпюра параллельных плоскостей
  • Построить линию пересечения двух плоскостей
  • Построить горизонтальную проекцию плоской линии,
  • Построить на развертке цилиндра линию,
    принадлежащую поверхности цилиндра 
  •   Построить пересечение двух поверхностей вращения
  • КОМПАС-3D
  • ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

    Две произвольные плоскости в пространстве по отношению друг к другу могут занимать два положения:

    плоскости пересекаются, при этом линия их пересечения всегда прямая;

    плоскости параллельны друг другу.

    Условия пересечения плоскостей

    Две произвольные плоскости в пространстве пересекаются по прямой линии. Как известно, две точки вполне определяют единственную прямую в пространстве. Следовательно, задача по построению линии пересечения плоскостей сводится к определению положения двух принадлежащих им обеим точек. Прямая пересечения плоскостей может быть построена и при условии, если определена одна общая для плоскостей точка и известно направление этой линии.

    Условия параллельности плоскостей

    Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости:

    если плоскости заданы пересекающимися прямыми, то они будут параллельны в случае, когда одноименные проекции прямых, лежащих в разных плоскостях, будут параллельны;

    если плоскости заданы линиями уровня (фронталями и горизонталями), то они будут параллельны в случае, когда одноименные проекции линий уровня параллельны между собой;

    если плоскости заданы следами, то они параллельны тогда, когда параллельны их одноименные следы;

    если плоскости заданы любым другим способом, то в них необходимо построить пересекающиеся прямые (общего положения, уровня или следы) и сравнить одноименные их проекции. У параллельных плоскостей одноименные проекции пересекающихся
    прямых взаимно параллельны.

    ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ ИПЛОСКОСТИ

    Определение взаимного положения прямой линии и плоскости

    Прямая линия и плоскость в пространстве относительно друг друга могут занимать следующие положения:

    прямая линия параллельна плоскости (частный случай — прямая лежит в плоскости);

    прямая линия пересекается с плоскостью (частный случай —прямая перпендикулярна к плоскости).

    Иногда на чертеже нельзя непосредственно установить положение прямой линии т и плоскости  (рис. 7.1).

    В этом случае прибегают к некоторым вспомогательным построениям. В результате данных построений от вопроса о взаимном положении прямой линии и плоскости переходят к вопросу о взаимном положении двух прямых линий. В задачах этого типа используют метод вспомогательной плоскости. Заключается он в следующем:

    - через данную прямую т проводят вспомогательную плоскость . Подбор вспомогательной плоскости производится таким образом, чтобы решение задачи было наиболее простым;

    строят линию я пересечения плоскостей - заданной  и вспомогательной А;

    устанавливают взаимное положение прямой т и линии пересечения плоскостей п.

    При этом возможны следующие случаи:

    прямая т параллельна прямой я, следовательно, прямая т параллельна плоскости ;

    прямая т пересекает прямую я, следовательно, прямая т пересекает плоскость .

    7.2 Пересечение прямой линии и плоскости

    Если одна из пересекающихся фигур занимает проецирующее положение, то точка пересечения находится значительно проще.

    7.2.1 Задание: найти точку пересечения прямой m с проецирующей плоскостью   (рис. 7.2).

    Решение: проанализировав чертеж, легко заметить, что плоскость   занимает проецирующее положение (плоскость   перпендикулярна к плоскости П2.)

    Сразу определяется фронтальная проекция К2 точки пересечения прямой m с плоскостью S. Горизонтальная проекция K1 искомой точки находится с помощью линии связи на горизонтальной проекции прямой т1. На плоскость П2 плоскость  проецируется в линию, совпадающую с фронтальным следом 2, значит, прямая видима по обе стороны от следа 2.

    При определении видимости прямой на горизонтальной проекции необходимо установить, какой участок прямой находится над плоскостью , т.е. будет видимым на горизонтальной проекции. Таким участком является луч, расположенный левее точки К.

    7.2.2 Задание: найти точку пересечения проецирующей прямой т с плоскостью (АВС) (рис. 7.3).

    Решение: из чертежа видно, что плоскость, заданная треугольником ABC, занимает общее положение относительно плоскостей проекции, прямая т является горизонтально проецирующей, т.Сразу определяется горизонтальная проекция k1 искомой точки пересечения прямой т с плоскостью . Для нахождения фронтальной проекции К2 точки в плоскости треугольника ABC проводится вспомогательная прямая 1-2. В пересечении её фронтальной проекции 11-22 с фронтальной проекцией прямой т находят фронтальную проекцию К2 искомой точки К.

    7.2.3 Задание: найти точку пересечения прямой т общего положения с плоскостью общего положения (ABC) (рис. 7.4).

    Решение: в данной задаче прямая т и плоскость  занимают общее положение относительно плоскостей проекции. Задача решается по следующей схеме:

    прямую т заключают в плоскость . В данной задаче  , то есть является горизонтально проецирующей;

    находят линию 1-2 пересечения плоскостей  (АВС) и ;

    определяют точку К пересечения прямой т с плоскостью  в пересечении прямых 1-2 и т.

    Видимость прямой т относительно плоскости S определяется с помощью конкурирующих точек.

    Для определения видимости на горизонтальной проекции выбирается пара точек 1 и 3. У этих точек координаты у одинаковы (), координаты z различны (), точка 1 выше точки 3.

    Следовательно, на горизонтальной проекции левее точки k1 прямая т находится под плоскостью треугольника ABC, то есть должна быть проведена штриховой линией.

    Для определения видимости на фронтальной проекции можно воспользоваться парой точек 4 и 5 и рассмотреть их аналогично паре точек 1 и 3.

    Параллельность прямой и плоскости

    Прямая и плоскость параллельны, если в плоскости имеется прямая, параллельная заданной прямой.

    Задание: построить проекции прямой, проходящей через точку А и параллельной прямой т, принадлежащей плоскости  (BCD) (рис. 7.5).

    Решение: в условии задачи задана фронтальная проекция m2 прямой m. Поэтому необходимо вначале найти горизонтальную проекцию m1 прямой m. Условия параллельности прямой и плоскости: прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-то прямой, расположенной в данной плоскости.

    Используя это условие, строят проекции искомой прямой, проходящие через точку А; п1 проводится параллельно т1, n2 — параллельно m2.

    СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ