Начертательная геометрия типовые задачи и методика решений

Начертательная геометрия
  • Ортогональное  (прямоугольное) проецирование
  • Комплексный чертеж
  • Комплексный чертеж прямой
  • Взаимное положение точек и прямых,
    их принадлежность плоскости
  • Принадлежность точки и прямой плоскости
  • Определение расстояния между двумя точками
  • Нахождение натуральной величины плоской фигуры
  • Построение точки пересечения прямой с плоскостью
  • Взаимное положение плоскостей
  • Метрические задачи
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Касательная плоскость и нормаль к поверхности
  • Определение расстояний
  • Определение расстояния
    между скрещивающимися прямыми
  • Угол между прямой и плоскостью
  • Угол между плоскостями
  • Кривая линия
  • Понятие поверхности.
  • Линейчатая поверхность
  •  Гранные поверхности и многогранники
  • Принадлежность точки и линии поверхности вращения
  • Пересечение поверхности и плоскости
  •   Пересечение поверхностей
  • Способ концентрических сфер
  • Пересечение поверхностей второго порядка
  • Развертки гранных поверхностей
  • Приближенные развертки
    развертывающихся поверхностей
  • Условные развертки неразвертывающихся
    поверхностей
  • Аксонометрические проекции
  • Ортогональная (прямоугольная) диметрическая проекция
  • МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
  • Проецирование точки на две и три плоскости проекций
  • Задание прямой в пространстве
  • Длина отрезка прямой и углы наклона прямой
    к плоскостям проекции
  • Задание плоскости
  • Признаки принадлежности точки и прямой плоскости
  • ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
  • ПРЯМАЯ ЛИНИЯ,
    ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ К ПЛОСКОСТИ
  • Замена плоскостей проекций
  • Метод плоскопараллельного перемещения
  • Решение методом вращения вокруг проецирующей оси
  • Сечение многогранников плоскостью
  • Поверхность вращения общего вида
  • ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
  • Плоскость, касательная к поверхности
  • Примеры задачь
  • Определить натуральную длину отрезка АВ
  • Построить проекции линии пересечения двух плоскостей
  • Построение эпюра параллельных плоскостей
  • Построить линию пересечения двух плоскостей
  • Построить горизонтальную проекцию плоской линии,
  • Построить на развертке цилиндра линию,
    принадлежащую поверхности цилиндра 
  •   Построить пересечение двух поверхностей вращения
  • КОМПАС-3D
  • Способ концентрических сфер

    Этот способ широко используется при решении задач на построение линий пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями. В основе этого способа лежит следующее свойство поверхностей вращения: две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения их пулумеридианов. Эти окружности лежат в плоскостях, перпендикулярных оси поверхностей вращения. У сферы любой диаметр можно принять за ось вращения. Следовательно, сфера с центром на оси поверхности вращения пересекает эту поверхность по одной или нескольким окружностям. Если ось поверхностей вращения параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость линия пересечения проецируется в отрезок прямой линии. На рис. 12.14а и рис. 12.14б показано пересечение сферы цилиндрической и конической поверхностями вращения, соответственно. На рис. 12.14в приведены пересекающиеся соосные цилиндрическая и коническая поверхности вращения.

    Рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер - сфер с постоянным центром. Этот способ применяют при выполнении следующих условий:

    а) пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения; 

    б) оси этих поверхностей должны пересекаться; точку их пересечения принимают за центр вспомогательных сфер;

    в) плоскость симметрии поверхностей должна быть параллельна какой- либо плоскости проекций (в противном случае применяют преобразование чертежа).

     Рассмотрим построение линии пере-сечения конических поверхностей вращения. На рис. 12.15 показано наглядное изображение, а на

     Рис. 12.15 рис.12.16 – комплексный чертеж этих поверхностей. Поверхности и их расположение удовлетворяет приведенным выше условиям. 

     Прежде чем строить промежуточные точки, необходимо найти опорные точки линии пересечения. Точки А, В, K и L, а также E, F, С и D – это точки, принадлежащие контурам поверхностей. Их можно найти способом концентрических сфер или с помощью плоскостей посредников S(S2) и D(D1).

    Рассмотрим теперь построение промежуточных точек на примере точек 5 и 6. Построения выполняем на фронтальной плоскости проекций. Сфера посредник Q(Q2) с центром в точке О(О2) пересекает конические поверхности по окружностям, которые на П2 проецируются в отрезки  и  (проекции двух других окружностей не показаны). Точки 52=62 их пересечения являются фронтальными проекциями точек 5 и 6, которые принадлежат линии пересечения поверхностей, так как принадлежат каждой из этих поверхностей.

    Горизонтальные проекции точек 5 и 6 находим из условия принадлежности точки поверхности. В данном случае используется принадлежность точек окружности  на “вертикальной” конической поверхности. Точки 52 и 62 находятся по линии проекционной связи на .

    Аналогично можно построить любое количество точек искомой линии пересечения. Однако нужно иметь ввиду, что не все сферы могут быть использованы для решения задачи. Рассмотрим предельные границы вспомогательных сфер.

    Радиус сфер посредников изменяется в диапазоне

    Rmax ³ R ³ Rmin,

    где Rmin – минимальный радиус сферы, Rmax – максимальный радиус сферы.

    Сфера минимального радиуса Rmin - это сфера, которая касается одной поверхности и пересекает другую (или тоже касается). На рис. 12.21 такая сфера касается “горизонтальной” конической поверхности. С помощью сферы минимального радиуса построены точки 12=22 и 32=42. Горизонтальные проекции точек 1, 2, 3 и 4 построены аналогично точкам 5 и 6.

    Радиус максимальной сферы равен расстоянию от точки пересечения осей поверхностей до самой удаленной точки пересечения контурных образующих этих поверхностей. На рис 12.16 - Rmax =êO2L2ê.

    Для установления видимости проекций линии пересечения анализируем расположение точек относительно контуров поверхностей. Так, относительно П1, видимым будет участок кривой, расположенный выше контура горизонтальной конической поверхности (вторая поверхность на видимость на П1 не влияет). Горизонтальная проекция невидимой части линии показана штриховой линией. Точки А, В и K, L принадлежат фронтальным контурам поверхностей и отделяют видимую часть линии пересечения от невидимой при проецировании на П2. Фронтальные проекции видимой и невидимой частей линии пересечения на рис. 12.16 совпадают.

    Способ эксцентрических сфер

    Способ эксцентрических сфер применяют при условии, что:

    1) одна из поверхностей – поверхность вращения, а другая циклическая (имеет семейство окружностей);

    2) поверхности имеют общую плоскость симметрии;

    3) общая плоскость симметрии параллельна плоскости проекций (в противном случае следует применить преобразование чертежа).

    Пример 1. Построить фронтальную проекцию линии пресечения поверхностей S и Q, общая плоскость симметрии которых параллельна П2 (рис. 12.17).

    Решение. Заданные поверхности и их расположение удовлетворяют условиям применимости способа эксцентрических сфер, который и применяем для решения поставленной задачи.

    Опорными точками являются точки A(А2) и B(В2), расположенные в пересечении очерковых образующих. Построение промежуточных точек выполняем в такой последовательности:

    1) проводим на конической поверхности окружность, которая расположена в плоскости, параллельной ее основанию и на P2 проецируется в отрезок – m(m2);

    2) проводим перпендикуляр к плоскости окружности m через ее центр O1 и находим центр O2 сферы-посредника;

    3) проводим проекции сферы с центром в точке O2 концы окружности m(m2);

    4) строим окружность n(n2), по которой сфера пресекает поверхность вращения Q;

    5) определяем точки 12=22 пересечения построенных окружностей.

    Проекции других точек линии пересечения определяют аналогично.

    На Õ2 проекции видимого и невидимого участков линии пересечения совпадут.

    Примечание. Предложите решение этой задачи, используя второе семейство окружностей на эллиптическом конусе (см. 12.19).

    Пример 2. Построить проекции линии пересечения тора и конической поверхности вращения (рис. 12.18).

     Решение. Исходные поверхности и их расположение удовлетворяют условиям применимости способа концентрических и эксцентрических сфер. Промежуточные точки 1, 2, 3 и 4 построены способом концентрических сфер, а точки 5 и 6 – способом эксцентрических сфер.

    Точки 5 и 6 построены по алгоритму, приведенному в примере 1. Окружность на торе выделена введением фронтально проецирующей плоскости W(W2).

    Точки 1, 2, 3, 4 построены в следующей последовательности:

    построены проекции сферы Q(Q1, Q2) с центром в точке О(О1,О2);

    2) определены проекции окружности n(n1, n2), по которой сфера пересекает коническую поверхность;

    3) построены проекции окружностей m1 и m2, по которым сфера пересекает тор; сначала построены m11 и m21, а затем m12 и m22 (показано стрелками);

    4) пересечение проекций окружностей m и n задает проекции точек 1, 2, 3, 4.

    Точки A, B, C, D, а также K, L, M, N являются опорными. Первые расположены в пересечении очерковых образующих поверхностей, а вторые – на сфере минимального радиуса (экстремальные).

    СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ