Начертательная геометрия типовые задачи и методика решений

Начертательная геометрия
  • Ортогональное  (прямоугольное) проецирование
  • Комплексный чертеж
  • Комплексный чертеж прямой
  • Взаимное положение точек и прямых,
    их принадлежность плоскости
  • Принадлежность точки и прямой плоскости
  • Определение расстояния между двумя точками
  • Нахождение натуральной величины плоской фигуры
  • Построение точки пересечения прямой с плоскостью
  • Взаимное положение плоскостей
  • Метрические задачи
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Касательная плоскость и нормаль к поверхности
  • Определение расстояний
  • Определение расстояния
    между скрещивающимися прямыми
  • Угол между прямой и плоскостью
  • Угол между плоскостями
  • Кривая линия
  • Понятие поверхности.
  • Линейчатая поверхность
  •  Гранные поверхности и многогранники
  • Принадлежность точки и линии поверхности вращения
  • Пересечение поверхности и плоскости
  •   Пересечение поверхностей
  • Способ концентрических сфер
  • Пересечение поверхностей второго порядка
  • Развертки гранных поверхностей
  • Приближенные развертки
    развертывающихся поверхностей
  • Условные развертки неразвертывающихся
    поверхностей
  • Аксонометрические проекции
  • Ортогональная (прямоугольная) диметрическая проекция
  • МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
  • Проецирование точки на две и три плоскости проекций
  • Задание прямой в пространстве
  • Длина отрезка прямой и углы наклона прямой
    к плоскостям проекции
  • Задание плоскости
  • Признаки принадлежности точки и прямой плоскости
  • ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
  • ПРЯМАЯ ЛИНИЯ,
    ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ К ПЛОСКОСТИ
  • Замена плоскостей проекций
  • Метод плоскопараллельного перемещения
  • Решение методом вращения вокруг проецирующей оси
  • Сечение многогранников плоскостью
  • Поверхность вращения общего вида
  • ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
  • Плоскость, касательная к поверхности
  • Примеры задачь
  • Определить натуральную длину отрезка АВ
  • Построить проекции линии пересечения двух плоскостей
  • Построение эпюра параллельных плоскостей
  • Построить линию пересечения двух плоскостей
  • Построить горизонтальную проекцию плоской линии,
  • Построить на развертке цилиндра линию,
    принадлежащую поверхности цилиндра 
  •   Построить пересечение двух поверхностей вращения
  • КОМПАС-3D
  • ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ ФИГУР

    Пересечение поверхности и плоскости

    Линия пересечения поверхности с плоскостью представляет собой плоскую кривую, называемую сечением. Точки этой кривой можно рассматривать как точки пересечения линий поверхности с плоскостью или прямых плоскости с поверхностью. Отсюда следует два варианта построения сечения:

    1) выбираем конечное число линий на поверхности и определяем точки пересечения их с плоскостью;

    2) выделяем конечное число прямых на плоскости и строим точки пересечения их с поверхностью.

     Заметим, что возможно решение, представляющее собой комбинацию этих вариантов. В любом случае построение сечения сводится к многократному применению алгоритма решения задачи на пересечение линии и поверхности.

    Определение проекций линий сечения рекомендуется начинать с построения его опорных (характерных) точек. К ним относятся точки, расположенные на очерковых образующих поверхности (они определяют границы видимости проекций кривой), а также точки, удаленные на экстремальные расстояния от плоскостей проекций. После этого определяют промежуточные точки сечения.

    Построение сечения существенно упрощается, если плоскость занимает проецирующее положение. Это связано с тем, что проецирующая плоскость характеризуется собирательным свойством. В этом случае одна из проекций сечения находится на следе плоскости, т.е. известна.

    Пример 1. Построить проекции сечения конической поверхности вращения с фронтально-проецирующей плоскостью S (рис. 12.1).

    Решение. Заданная плоскость S пересекает исходную поверхность по эллипсу, фронтальная проекция которого расположена на следе этой плоскости. Горизонтальную проекцию сечения строим по точкам в соответствии с задачей на принадлежность линии поверхности (см. рис. 12.1).

    Проекцию эллипса на плоскости P1 можно построить также по его большой A1B1 и малой C1D1 осям. Фронтальная проекция малой оси эллипса (точки C2=D2) находится на середине отрезка А2В2.

    Пример 2. Построить пересечение многогран-ника плоскостью.

    В пересечении гранных поверхностей плос-костями получаются многоугольники. Их вершины определяются как точки пересечения ребер гранных поверхностей с секущей плоскостью.

    Многоугольник сечения может быть построен двумя способами:

    Вершины многоугольника находятся как точки пересечения прямых (ребер) с секущей плоскостью;

    Стороны многоугольника находятся как линии пересечения граней (плоскостей) многогранника с секущей плоскостью.

    На (рис. 12.2) показано построение сечение пирамиды плоскостью S.

    Секущая плоскость является фронтально - проецирующей, следовательно, все линии, лежащие в этой плоскости, совпадут с фронтальным следом S2 плоскости S. Следовательно, фронтальная проекция 122232 сечения определится при пересечении фронтальных проекций ребер пирамиды со следом S(S)2. Горизонтальные проекции точек 1(11), 2(21) и 3(31) находим из условия принадлежности точек ребрам пирамиды.

    Пример 3. Построить линию пересечения цилиндрической поверхности вращения с плоскостью S(S)2 (рис. 12.3).

    Решение. Вначале находим опорные точки A(A1, A2), B(B1, B2), C(C1, C2) и D(D1, D2). Точки А и В находятся в пересечении образующих фронтального контура поверхности и плоскости S (вначале определяем A2 и B2, а затем по линиям проекционной связи - A1 и B1). Точки С и D являются точками пересечения горизонтального контура поверхности и плоскости S. На П2 горизонтальный контур совпадает с проекцией оси поверхности вращения, а на П1 является очерком. Тогда, вначале строим C2 и D2, а затем C1 и D1.

    Точки 1(11, 12), 2(21, 22), …, 8(81, 82) – это промежуточные точки сечения. Они построены введение промежуточных прямолинейных образующих поверхности. Вначале проводим проекции образующих на П2, например, через точки 12, 22 (образующие – фронтально конкурирующие). На П3 эти образующие проецируются в точки 13 и 23. Горизонтальные проекции образующих построены по двум заданным, как показано на рис. 12.3, отложив соответствующие значения координаты y.

    12.2. Пересечение конической поверхности вращения плоскостью

    В зависимости от направления секущей плоскости в сечении конической поверхности вращения могут получиться различные линии. Они называются коническими сечениями. На рис. 12.4 приведена фронтальная проекция конической поверхности вращения (ось i параллельна П2) и фронтально проецирующие плоскости …, На рис. 12.5 показаны наглядные изображения результатов пересечения плоскостями тел, ограниченных конической поверхностью вращения.

    В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, получается окружность (рис. 12. 4а).

    Эллипс получается в том случае, если секущая плоскость пересекает все образующие поверхности и не перпендикулярна оси i (рис. 12. 4б).

    Плоскость параллельна одной образующей поверхности и пересекает одну половину конической поверхности. Сечением является парабола (рис. 12. 4в).

    Плоскость параллельна двум образующим и пересекает обе половины конической поверхности (сечение – гипербола) (рис. 12. 4г).

    Плоскость проходит через вершину конической поверхности (сечение – две пересекающиеся прямые) (рис. 12. 4д).

    а) б) в) г) д)

     Рис. 12.5

    Пересечение линии и поверхности.

    Линия и поверхность пересекаются в общем случае в нескольких точках А, В, … . Алгоритм их определения может быть построен на тех же рассуждениях, что и при построении точки пересечения прямой и плоскости. Действительно, точки A, B, … пересечения линии m и поверхности Q принадлежат также линиям, проходящим через эти точки и лежащим на заданной поверхности. Кривую n можно рассматривать как проекцию линии m на поверхность Q. Тогда, в случае параллельного проецирования, линии n и m будут располагаться на одной цилиндрической поверхности, у которой направляющей является кривая m, а образующие параллельны направлению проецирования. В случае если линия прямая, то n и m находятся в одной плоскости S  (рис. 12.6). Если направление проецирования будет перпендикулярно какой-либо плоскости проекций, линии n и m будут конкурирующими относительно соответствующей плоскости проекций.

    Пример 1. Даны прямая m и тор. Построить точки пересечения прямой и поверхности. (рис. 12.7)

    Решение.

    1. Выбираем на заданной поверхности линию n, например, фронтально конкурирующую с заданной прямой m. Линии n и m пересекаются, т.к. они находятся в одной фронтально проецирующей плоскости.

    2. Определяем горизонтальную проекцию линии n (n1), исходя из условия принадлежности ее поверхности.

    3. Находим точки A и B пересечения линий n и m, которые и являются искомыми.

    4. Устанавливаем види-мость проекций прямой. Так, участок AB прямой m , расположен внутри поверхности, то он невидим на P1 и P2. Кроме этого, на P2 невидим отрезок прямой m правее точки B2 до точки на очерке поверхности, а на P1 – левее точки 51, также до точки на очерке поверхности. Эти отрезки закрыты поверхностью – находятся за контурами поверхности.

    Пример 2. Даны кривая n и цилиндроид G(a, b, S) (рис. 12.8). Построить точки пере-сечения линии и поверхности.

    Решение.

    1. На поверхности цилиндроида вводим кривую m, фронтально конкурирующую с линией n. Эти кривые пересекаются (в общем случае), т.к. расположены на одной фронтально проецирующей цилиндрической поверхности, у которой линия n – направляющая, а образующие перпендикулярны P2.

     2. Строим горизонтальную проекцию кривой m(m1) (mÌG).

    3. Находим горизонтальную проекцию точки A(A1) - A1 = n1 Ç m1, а затем и A2(A2 Ì n2).

    Пример 3. Даны прямая n и коническая поверхность (рис. 12.9). Построить точки пересечения линии и поверхности.

    Решение. Поставленную задачу также можно решить, задав на конической поверхности линию m, конкурирующую с прямой n относительно плоскости проекций P1 или P2. Полученные кривые будут лекальные, что требует значительных построений и снижает точность решения задачи. Так как заданная поверхность линейчатая, то в качестве линии m на поверхности целесообразно взять прямую (или прямые). Тогда алгоритм решения задачи будет следующим:

    1. Спроецируем из точки S прямую n на плоскость P1, т.е. определим центральную проекцию прямой n на плоскость P1. Для этого проводим два проецирующих луча через точки 1 и 5 прямой до пересечения с плоскостью проекций P1. Точки 1 и 2 задают центральную проекцию прямой n на P1.

    2. Строим образующие m1 и m2 на конической поверхности, конкурирующие с n относительно П1 при ее центральном проецировании.

    3. Находим точки A и B пересечения прямой n с образующими m1 и m2. Точки A и B - искомые.

    4. Устанавливаем видимость проекций прямой n.

    СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ