Начертательная геометрия типовые задачи и методика решений

Начертательная геометрия
  • Ортогональное  (прямоугольное) проецирование
  • Комплексный чертеж
  • Комплексный чертеж прямой
  • Взаимное положение точек и прямых,
    их принадлежность плоскости
  • Принадлежность точки и прямой плоскости
  • Определение расстояния между двумя точками
  • Нахождение натуральной величины плоской фигуры
  • Построение точки пересечения прямой с плоскостью
  • Взаимное положение плоскостей
  • Метрические задачи
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Касательная плоскость и нормаль к поверхности
  • Определение расстояний
  • Определение расстояния
    между скрещивающимися прямыми
  • Угол между прямой и плоскостью
  • Угол между плоскостями
  • Кривая линия
  • Понятие поверхности.
  • Линейчатая поверхность
  •  Гранные поверхности и многогранники
  • Принадлежность точки и линии поверхности вращения
  • Пересечение поверхности и плоскости
  •   Пересечение поверхностей
  • Способ концентрических сфер
  • Пересечение поверхностей второго порядка
  • Развертки гранных поверхностей
  • Приближенные развертки
    развертывающихся поверхностей
  • Условные развертки неразвертывающихся
    поверхностей
  • Аксонометрические проекции
  • Ортогональная (прямоугольная) диметрическая проекция
  • МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
  • Проецирование точки на две и три плоскости проекций
  • Задание прямой в пространстве
  • Длина отрезка прямой и углы наклона прямой
    к плоскостям проекции
  • Задание плоскости
  • Признаки принадлежности точки и прямой плоскости
  • ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
  • ПРЯМАЯ ЛИНИЯ,
    ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ К ПЛОСКОСТИ
  • Замена плоскостей проекций
  • Метод плоскопараллельного перемещения
  • Решение методом вращения вокруг проецирующей оси
  • Сечение многогранников плоскостью
  • Поверхность вращения общего вида
  • ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
  • Плоскость, касательная к поверхности
  • Примеры задачь
  • Определить натуральную длину отрезка АВ
  • Построить проекции линии пересечения двух плоскостей
  • Построение эпюра параллельных плоскостей
  • Построить линию пересечения двух плоскостей
  • Построить горизонтальную проекцию плоской линии,
  • Построить на развертке цилиндра линию,
    принадлежащую поверхности цилиндра 
  •   Построить пересечение двух поверхностей вращения
  • КОМПАС-3D
  • Определение расстояния между скрещивающимися прямыми

     Приведем без доказательств сведения из стереометрии, необходимые для решения названной задачи.

    1. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок, 

     концы которого лежат на данных прямых и который перпендикулярен к ним.

    2. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых существует и единствен.

    3. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего 

     перпендикуляра.

     Задача. Даны скрещивающиеся прямые АВ и CD. Определить расстояние

    между прямыми (рис. 8.7).

    Решение задачи выполним методом замены плоскостей проекций. Проекционный алгоритм решения в этом случае может быть следующим:

    1) вводится новая система плоскостей проекций

     П1, П4 , таким образом, что П4 // АВ, т.е. на КЧ 

     строим х1 // А1В1;

    2) на П4 строятся новые проекции А4В4 = НВ

     отрезка АВ, а также C4D4 ;

    3) вводится новая система плоскостей П4, П5 с

     осью х2 ^ А4В4 такая, что П5 ^ AB;

    4) на П5 строятся новые проекции – C5D5 и точка

     А5 = В5;

    5) строится перпендикуляр E5F5 ^ C5D5 и Е5 = А5

     = В5;

    В итоге, по смыслу построений в методе замены плоскостей проекций и приведенному понятию расстояния между скрещивающимися прямыми, получаем, что r(E5, C5D5) = r(AB, CD). Для полноты решения задачи необходимо вернуть отрезок EF длиной r(AB, CD) на исходные плоскости проекций:

    1) строим E4F4 // x2;

    2) строим E1F1 по проекциям E5F5, E4F4 ; E2F2 по

     проекциям E4F4 , E1F1 .

    Отрезки E2F2 , E1F1 представляют собой основные проекции отрезка EF.

    В стереометрии известно еще одно определение рассматриваемого расстояния: расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проведенными через эти прямые.

    Такое определение расстояния позволяет предложить более короткий путь решения рассматриваемой задачи. Пусть AB и CD – скрещивающиеся прямые (рис. 8.8). Переместим в пространстве прямую АВ параллельно самой себе в положение А1В1 до пересечения с CD. Если взять теперь на прямой АВ любую точку Е и опустить из этой точки перпендикуляр ЕЕ1 на плоскость Σ(CD, A1B1), то длина этого перпендикуляра будет расстоянием r(AB,CD). Рассмотрим проекционное решение задачи.

    Задача. Даны скрещивающиеся прямые АВ и CD (рис. 8.9). Определить 

    расстояние между ними.

    Решение задачи может быть следующим.

    1. Перенесем прямую АВ параллельно самой себе до пересечения с CD. Таких переносов может быть бесконечное множество. А1В1 ® А11В11 , А2В2 = А21В21 – наиболее простой для данного КЧ вариант переноса.

    2. Получаем новые условия задачи: заданы плоскость Σ (А1В1 , CD), где А1В1 Ç CD и точка А; требуется определить расстояние r(А, Σ). Решение задачи выполняется методом замены плоскостей проекций по ранее изложенной схеме проекционного решения.

     

    9. Определение углов между

     фигурами

     

    Фигуры пространства: прямые линии, плоскости, прямые и плоскости могут образовывать между собой углы – геометрические фигуры с соответствующими этим фигурам величинами. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в начертательной геометрии углы. 

     

     9.1. Углы между прямыми

    Приведем известные из школьного курса стереометрии понятия и определения, необходимые для решения последующих метрических задач:

    1) плоский угол – фигура, образованная двумя лучами с общим началом и одной из 

     плоских областей, ограниченной ими;

    2) угол между пересекающимися прямыми – величина наименьшего из плоских

     углов, образованных этими прямыми;

    3) угол между скрещивающимися прямыми – это угол между пересекающимися

     прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым.

    В последнем определении величина угла между двумя скрещивающими прямым не зависит от выбора пары пересекающихся прямых, параллельных им. Рассмотрим несколько задач на определение углов.

    Задача. Даны пересекающиеся отрезки АВ и АС (рис. 9.1). Определить угол между ними.

    Поскольку искомый угол является плоской фигурой, то решение задачи сводится к определению НВ плоской фигуры. Ее проекционное решение изложено в п. 1. Напомним алгоритм этого решения. Он основан на методе замены плоскостей проекций и применительно к условиям данной задачи может быть следующим:

    1) строится линия уровня, например, h(h1,h2 ), принадлежащая плоскости Σ(АВ, АС), при этом h2 // х;

    2) строится ось проекции x1^ h1 , что соответствует в пространстве введению новой

     системы плоскостей проекций П1, П4, где П4 ^ h;

    3) на П4 строится вырожденная проекция В4С4 плоскости Σ;

    4) строится ось проекции x2 // В4С4 , что соответствует в пространстве введению

     новой системы плоскостей проекций П4 , П5 , где П5 // Σ;

    5) на П5 строится угол Ð(А5С5 , А5В5 ) = a, который и является искомым.

     Задача. Даны две скрещивающиеся прямые АВ и CD (рис. 9.2). Определить 

    угол между ними.

    Решение задачи выполним, опираясь на определение угла между скрещивающимися прямыми, приведенное выше, а также учитывая алгоритм проекционного решения предыдущей задачи. Для этих целей переместим одну из прямых, например DC, в положение, когда она, оставаясь параллельной самой себе, будет пересекать другую прямую АВ. Таких положений существует бесчисленное множество. Одно из них, D1C1 (D11C11 , D21C21 ), где D11С11 // D1С1 , D21С21 = D2C2 , показано на КЧ (см. рис. 9.2). В итоге получаем пару пересекающихся прямых АВ Ç D1С1 , угол между которыми может быть определен на основании вышеприведенного проекционного алгоритма. Эту часть решения задачи рекомендуется выполнить самостоятельно.

    Рассмотрим еще одно проекционное решение данной задачи. Смысл его заключается в построении такой дополнительной плоскости проекций, на которой ортогональные проекции заданных скрещивающихся прямых суть пересекающиеся

    прямые, соответственно параллельные этим скрещивающимся прямым. Угол между такими ортогональными проекциями является искомым. Указанная плоскость проекций перпендикулярна прямой кратчайшего расстояния между заданными скрещивающимися прямыми.

     Задача. Даны скрещивающиеся прямые АВ и CD. Определить угол между ними 

    (рис. 9.3).

    Проекционное решение этой задачи, в соответствии с предложенной выше схемой, будет следующим:

    1) строится ось проекции x1 // C1D1 (x1 можно строить параллельно любой из

     четырех ортогональных проекций прямых АВ и CD), которая вместе с 

     плоскостями П1 , П4 образует новую систему плоскостей проекций, такую, что

     П4 // CD;

    2) на П4 строятся дополнительные проекции А4В4 , C4D4 прямых АВ и CD, при этом

     C4D4 есть НВ отрезка CD;

    3) строится ось проекции x2 ^ C4D4 , которая вместе с П4 , П5 образует новую

     систему плоскостей проекций, такую, что П5 ^CD;

    4) на П5 строятся дополнительные проекции А5В5 и C5 = D5 прямых АВ и CD;

    5) строится ось проекции x3 // А5В5 , которая

     вместе с П5, П6 образует новую систему

     плоскостей проекций, такую, что П6 // AB;

    6) на П6 строятся дополнительные проекции

     А6В6 и C6D6 , представляющих собой НВ

     прямых АВ и CD и образующих между собой

     гол a, являющийся решением задачи.

     

     

     

     

     

     

     

    СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ