Начертательная геометрия типовые задачи и методика решений

Начертательная геометрия
  • Ортогональное  (прямоугольное) проецирование
  • Комплексный чертеж
  • Комплексный чертеж прямой
  • Взаимное положение точек и прямых,
    их принадлежность плоскости
  • Принадлежность точки и прямой плоскости
  • Определение расстояния между двумя точками
  • Нахождение натуральной величины плоской фигуры
  • Построение точки пересечения прямой с плоскостью
  • Взаимное положение плоскостей
  • Метрические задачи
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Касательная плоскость и нормаль к поверхности
  • Определение расстояний
  • Определение расстояния
    между скрещивающимися прямыми
  • Угол между прямой и плоскостью
  • Угол между плоскостями
  • Кривая линия
  • Понятие поверхности.
  • Линейчатая поверхность
  •  Гранные поверхности и многогранники
  • Принадлежность точки и линии поверхности вращения
  • Пересечение поверхности и плоскости
  •   Пересечение поверхностей
  • Способ концентрических сфер
  • Пересечение поверхностей второго порядка
  • Развертки гранных поверхностей
  • Приближенные развертки
    развертывающихся поверхностей
  • Условные развертки неразвертывающихся
    поверхностей
  • Аксонометрические проекции
  • Ортогональная (прямоугольная) диметрическая проекция
  • МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
  • Проецирование точки на две и три плоскости проекций
  • Задание прямой в пространстве
  • Длина отрезка прямой и углы наклона прямой
    к плоскостям проекции
  • Задание плоскости
  • Признаки принадлежности точки и прямой плоскости
  • ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
  • ПРЯМАЯ ЛИНИЯ,
    ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ К ПЛОСКОСТИ
  • Замена плоскостей проекций
  • Метод плоскопараллельного перемещения
  • Решение методом вращения вокруг проецирующей оси
  • Сечение многогранников плоскостью
  • Поверхность вращения общего вида
  • ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
  • Плоскость, касательная к поверхности
  • Примеры задачь
  • Определить натуральную длину отрезка АВ
  • Построить проекции линии пересечения двух плоскостей
  • Построение эпюра параллельных плоскостей
  • Построить линию пересечения двух плоскостей
  • Построить горизонтальную проекцию плоской линии,
  • Построить на развертке цилиндра линию,
    принадлежащую поверхности цилиндра 
  •   Построить пересечение двух поверхностей вращения
  • КОМПАС-3D
  • Определение расстояний

     Рассмотрим только определение расстояний, поскольку НВ плоской фигуры была рассмотрена в п. 4.

    Расстояние от точки до фигуры (точки, прямой, плоскости)

     Приведем сведения из планиметрии, необходимые для решения обозначенных задач.

    1. Длина отрезка есть расстояние между его концами.

    2. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, 

     и притом только один.

    Задача. Определить длину отрезка АВ (рис. 8.1).

    В п. 4 было приведено решение этой задачи методом замены плоскостей проекций. Рассмотрим другое решение – решение методом прямоугольного треугольника. Его обоснование выполним, опираясь на указанный метод замены. Выполняя решение данной задачи методом замены, получим А4В4 – искомую длину. Видим, что в соответствии с методом замены Е4В4 = b. Поэтому, отложив на линии В1В4 ^ х1 от точки В1 отрезок B1D1 = E4В4 = b, получим прямоугольный треугольник А1В1D1 , в котором А1D1 = А4В4 , т.е. длина гипотенузы А1D1 есть искомая длина. Следовательно, длину отрезка АВ можно определить на плоскости проекций П1 используя расстояние b, снятое на плоскости проекций П2 . При этом замена плоскостей проекций с осью х1 не нужна. Аналогично можно определить искомую длину на плоскости П2 . Для этого выстраиваем прямоугольный треугольник B2A2C2 , у которого С2А2 = а, где а определено на П1 . В итоге получаем В2С2 = В1С1 – искомая длина отрезка АВ. Понятно, что необходимо строить лишь один из двух приведенных прямоугольных треугольников.

    Задача. Даны прямая АВ и точка Е вне прямой (рис. 8.2). Требуется 

    определить расстояние r (Е, АВ).

    Проекционный алгоритм решения может быть следующим:

    1) методом замены плоскостей

     проекций определяется длина

     отрезка АВ. На П4 она равна А4В4 ;

    2) строится дополнительная на П4

     проекция Е4 точки Е;

    3) вводится новая система

     плоскостей проекций П4, П5 ,

     такая, что ее ось проекций х2

     перпендикулярна А4В4;

    4) на П5 строятся дополнительные

     проекции отрезка АВ и точки Е –

     соответственно точки А5 = В5 и Е5 .

    Расстояние r(F5, Е5) является искомым расстоянием между данными прямой и точкой. Возвращаем затем последовательно проекции отрезка EF на П4, П1, П2. Для этого проводим вначале E4F4 // x2 , а затем строим: (F5, F4 ) Þ F1 ; (F4 , F1 ) Þ F2.

    В итоге получаем E1F1 , E2F2 – основные проекции отрезка EF, длина которого есть искомое расстояние. Необходимо отметить, что если не учитывать полученные построения на П5 , то оставшиеся построения на П2, П1 и П4 соответствуют решению задачи о проведении прямой EF через данную точку Е, пересекающей под 90° данную прямую АВ.

    Задача. Даны плоскость Σ (ΔАВС) и точка Е. Определить расстояние от точки Е до плоскости Σ (рис. 8.3).

    Решение задачи может быть выполнено методом замены плоскостей проекций. Проекционный алгоритм решения в этом случае следующий:

    1) в плоскости Σ строится линия уровня,

     например h(h1, h2) , так, что h2 // x;

    2) вводится новая система плоскостей проекций П1, П4 с осью х1 так, что х1 ^ h1;

    3) на П4 строятся дополнительные проекции заданных фигур – В4С4 для ΔАВС и Е4

     для точки Е;

    4) длина перпендикуляра E4F4 есть искомое расстояние r(Е, Σ).

    Для полноты решения строим проекции отрезка EF на основных плоскостях проекций. Для этого строим вначале E1F1 // х1 , а затем (F4 , F1) Þ F2 ; E2F2 , E1F1 – основные проекции отрезка EF длины r.

    Определение расстояния между параллельными фигурами 

     Задача. Даны параллельные прямые АВ и CD. Определить расстояние между 

    прямыми (рис. 8.4).

    Решение задачи выполним методом замены плоскостей проекций. Для этого вначале введем новую систему плоскостей проекций П1, П4 с осью проекций

    х1 // А1В1 и определим НВ отрезков АВ и CD. Получим А4В4 = НВ отрезка АВ; D4С4 = НВ отрезка DC. Затем введем новую систему плоскостей проекций П4, П5 с осью х2 ^ А4В4 и построим точки D5 = С5 и А5 = В5 , которые будут вырожденными проекциями отрезков АВ и CD. Искомым расстоянием r(AB, CD) будет r(А5, D5 ). Остается построить основные проекции отрезка длины r. Эту часть решения задачи предлагается выполнить самостоятельно.

     Задача. Даны параллельные фигуры: прямая а и плоскость Σ. Определить расстояние между а и Σ (рис. 8.5).

    Для решения задачи необходимо взять на прямой а произвольную точку А и определить расстояние r(А, Σ).

    Так как r(a, Σ) = r(A, Σ), то расстояние r(A, Σ) будет решением задачи. Определение расстояния r(A, Σ) было показано

     ранее.

     Задача. Даны параллельные плоскости Σ и Δ.

     Определить расстояние между Σ и Δ (рис. 8.6).

    Для решения задачи необходимо взять на одной из плоскостей, например, Σ, точку А и определить расстояние r(A, Δ). Так как r(Σ, Δ) = r(A, Δ), то найденное расстояние r(A, Δ) будет решением задачи.

    СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ