Начертательная геометрия типовые задачи и методика решений

Начертательная геометрия
  • Ортогональное  (прямоугольное) проецирование
  • Комплексный чертеж
  • Комплексный чертеж прямой
  • Взаимное положение точек и прямых,
    их принадлежность плоскости
  • Принадлежность точки и прямой плоскости
  • Определение расстояния между двумя точками
  • Нахождение натуральной величины плоской фигуры
  • Построение точки пересечения прямой с плоскостью
  • Взаимное положение плоскостей
  • Метрические задачи
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Касательная плоскость и нормаль к поверхности
  • Определение расстояний
  • Определение расстояния
    между скрещивающимися прямыми
  • Угол между прямой и плоскостью
  • Угол между плоскостями
  • Кривая линия
  • Понятие поверхности.
  • Линейчатая поверхность
  •  Гранные поверхности и многогранники
  • Принадлежность точки и линии поверхности вращения
  • Пересечение поверхности и плоскости
  •   Пересечение поверхностей
  • Способ концентрических сфер
  • Пересечение поверхностей второго порядка
  • Развертки гранных поверхностей
  • Приближенные развертки
    развертывающихся поверхностей
  • Условные развертки неразвертывающихся
    поверхностей
  • Аксонометрические проекции
  • Ортогональная (прямоугольная) диметрическая проекция
  • МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
  • Проецирование точки на две и три плоскости проекций
  • Задание прямой в пространстве
  • Длина отрезка прямой и углы наклона прямой
    к плоскостям проекции
  • Задание плоскости
  • Признаки принадлежности точки и прямой плоскости
  • ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
  • ПРЯМАЯ ЛИНИЯ,
    ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ К ПЛОСКОСТИ
  • Замена плоскостей проекций
  • Метод плоскопараллельного перемещения
  • Решение методом вращения вокруг проецирующей оси
  • Сечение многогранников плоскостью
  • Поверхность вращения общего вида
  • ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
  • Плоскость, касательная к поверхности
  • Примеры задачь
  • Определить натуральную длину отрезка АВ
  • Построить проекции линии пересечения двух плоскостей
  • Построение эпюра параллельных плоскостей
  • Построить линию пересечения двух плоскостей
  • Построить горизонтальную проекцию плоской линии,
  • Построить на развертке цилиндра линию,
    принадлежащую поверхности цилиндра 
  •   Построить пересечение двух поверхностей вращения
  • КОМПАС-3D
  • Касательная плоскость и нормаль к поверхности

     В обыкновенной точке А поверхности Σ можно построить единственную касательную плоскость (рис. 7.7). Для этого на поверхности через точку А необходимо провести две кривые a и b, а затем построить две касательные а1 и b1 соответственно к a и b. Касательная плоскость Δ образована прямыми a1 и b1. Прямая n ^ Δ называется нормалью поверхности Σ в точке А.

    Задача. Даны сфера и точка А на ней. Построить касательную плоскость и нормаль к сфере в точке А (рис. 7.8).

    Решение задачи может быть выполнено следующим образом:

    1) построим две окружности а(a1, a2) и b(b1 ,b2 ) на сфере, пересекающиеся в точке 

     А(А1,А2);

    2) проведем две касательные а1 (а11 , а12 ) и b1 (b11 , b12 ) к окружностям a и b 

     соответственно; искомая касательная плоскость образуется касательными a1 и b1;

    3) построим нормаль n(n1,n2 ) к поверхности сферы по следующим условиям:

     n1 ^ b11 , n2 ^ а12.

     

    Заметим, что поверхность сферы состоит только из обыкновенных точек.

    Задача. Даны коническая поверхность вращения и точка А на ней. Построить касательную плоскость и нормаль к поверхности в точке А (рис. 7.9).

    Решение задачи:

    1) построим на конической поверхности две линии, пересекающиеся в точке А –

     окружность а(a1, a2 ) и прямую b = SA(S1A1, S2A2);

    2) проведем касательную а1 (а11,а12 ) к окружности а; две пересекающиеся в точке А 

     прямые a1 и SA образуют касательную плоскость к поверхности конуса;

    3) при помощи преобразования вращения (см. рис. 7.9) построим промежуточное

     положение n1(n11,n12 ) искомой нормали n, а затем ее искомое положение n(n1,n2 ).

     Вершина S – единственная особая точка на поверхности конуса.

    Перпендикулярность двух плоскостей

     Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Приведем без доказательства теоремы стереометрии, полезные для решения последующих метрических задач.

    1. Признак перпендикулярности двух плоскостей: если плоскость проходит через

     перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

    2. Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то

     прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.

    3. Для наклонной, т. е. не являющейся перпендикуляром к плоскости, имеет место

     утверждение: через наклонную проходит единственная плоскость,

     перпендикулярная данной плоскости.

     Последнее утверждение позволяет предложить следующий алгоритм построения плоскости, проходящей через наклонную АВ и перпендикулярную заданной плоскости Σ:

    1) на АВ выбирается произвольная точка Е;

    2) строится прямая t таким образом, что t ' Е, t ^ h , t ^ f , где h Ì Σ, f Ì Σ (рис. 7.10),

     т.е. t ^ Σ.

    Плоскость (АВ, t ) будет единственной плоскостью, перпендикулярной плоскости Σ. Заметим, что через прямую t ^ Σ проходит не одна плоскость, перпендикулярная Σ.

    Задача. Даны плоскость Σ(CD, MN), где CD // MN и прямая АВ (рис. 7.11). Построить на КЧ плоскость, проходящую через АВ и перпендикулярную плоскости Σ.

    Алгоритм проекционного решения задачи:

    1) строятся линии уровня h(h1,h2) и f(f1,f2) в плоскости Σ,

     при этом h2 // х, f1 // х;

    2) строятся проекции t1 и t2 прямой t таким образом, что

     t2 ' E2 , t2 ^ f2 ; t1 ' E1, t1 ^ h1 , где Е ÎАВ – произвольная

     точка. Плоскость (АВ, t) – решение задачи.

    Задача. Даны плоскости Σ(АВ, DC) и Δ(KL, PT), где

    AB Ç DC, KL // PT, а также точка Е. Построить плоскость, проходящую через точку Е и перпендикулярную обеим плоскостям Σ и Δ (рис. 9.9).

    Одно из возможных решений данной задачи состоит в следующем. Вначале строится линия пересечения заданных плоскостей t = Σ Ç Δ. Затем, на основании приведенных теорем стереометрии, строится плоскость, проходящая через точку Е и перпендикулярная линии t. Будучи единственной, эта плоскость представляет собой решение задачи. Возможен другой алгоритм решения данной задачи (см. рис. 9.8):

    1) из точки Е опускается перпендикуляр а

     на плоскость Σ;

    2) из точки Е опускается перпендикуляр b

     на плоскость Δ.

    Плоскость (a, b), где a Ç b = E, есть решение задачи. Рассмотрим реализацию этого алгоритма на КЧ (см. рис. 9.9).

    1. В плоскости Σ построим линии уровня 

     h1(h11,h12) и f 1(f11, f12) . При этом 

     h12 // x; f11 // x.

    2. В плоскости Δ построим линии уровня

     h2(h21,h22) и f 2(f21,f22) . При этом 

     h22 // х; f21 //х.

    3. Из точки Е опускаются два перпендикуляра: а ^ Σ, b ^ Δ. При этом а2 ^ f12 ,

     а1 ^h11 ; b2 ^ f22 , b1 ^ h21 .

    Две прямые а и b, пересекающиеся в точке Е, определяют искомую плоскость, т.е. плоскость, перпендикулярную заданным плоскостям Σ и Δ.

    СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ