Начертательная геометрия типовые задачи и методика решений

Начертательная геометрия
  • Ортогональное  (прямоугольное) проецирование
  • Комплексный чертеж
  • Комплексный чертеж прямой
  • Взаимное положение точек и прямых,
    их принадлежность плоскости
  • Принадлежность точки и прямой плоскости
  • Определение расстояния между двумя точками
  • Нахождение натуральной величины плоской фигуры
  • Построение точки пересечения прямой с плоскостью
  • Взаимное положение плоскостей
  • Метрические задачи
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Касательная плоскость и нормаль к поверхности
  • Определение расстояний
  • Определение расстояния
    между скрещивающимися прямыми
  • Угол между прямой и плоскостью
  • Угол между плоскостями
  • Кривая линия
  • Понятие поверхности.
  • Линейчатая поверхность
  •  Гранные поверхности и многогранники
  • Принадлежность точки и линии поверхности вращения
  • Пересечение поверхности и плоскости
  •   Пересечение поверхностей
  • Способ концентрических сфер
  • Пересечение поверхностей второго порядка
  • Развертки гранных поверхностей
  • Приближенные развертки
    развертывающихся поверхностей
  • Условные развертки неразвертывающихся
    поверхностей
  • Аксонометрические проекции
  • Ортогональная (прямоугольная) диметрическая проекция
  • МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
  • Проецирование точки на две и три плоскости проекций
  • Задание прямой в пространстве
  • Длина отрезка прямой и углы наклона прямой
    к плоскостям проекции
  • Задание плоскости
  • Признаки принадлежности точки и прямой плоскости
  • ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
  • ПРЯМАЯ ЛИНИЯ,
    ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ К ПЛОСКОСТИ
  • Замена плоскостей проекций
  • Метод плоскопараллельного перемещения
  • Решение методом вращения вокруг проецирующей оси
  • Сечение многогранников плоскостью
  • Поверхность вращения общего вида
  • ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
  • Плоскость, касательная к поверхности
  • Примеры задачь
  • Определить натуральную длину отрезка АВ
  • Построить проекции линии пересечения двух плоскостей
  • Построение эпюра параллельных плоскостей
  • Построить линию пересечения двух плоскостей
  • Построить горизонтальную проекцию плоской линии,
  • Построить на развертке цилиндра линию,
    принадлежащую поверхности цилиндра 
  •   Построить пересечение двух поверхностей вращения
  • КОМПАС-3D
  • Метрические задачи. Ортогональная проекция прямого угла

     К метрическим задачам, изучаемым в учебном курсе начертательной  геометрии, относятся задачи, в которых требуется определить метрические характеристики заданной фигуры – длину, угол, площадь и др., а также метрические свойства и характеристики, обусловленные расположением фигуры относительно плоскостей проекций или относительно другой (других) фигур – перпендикулярность, расстояние и угол. Проекционное решение таких задач основывается на метрических свойствах ортогонального проецирования на плоскость и обратимости чертежа Монжа. Метрическими свойствами ортогонального проецирования являются существующие зависимости между длинами отрезка прямой линии и его проекции, а также между величинами угла и его проекции (см. п. 1). Из этих зависимостей вытекает теорема о проецировании прямого угла: для того, чтобы прямой угол проецировался в прямой угол, необходимо и достаточно, чтобы одна его сторона была параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна этой плоскости. Рассмотрим геометрическое доказательство. Оно позволяет более наглядно увидеть числовую и проекционную взаимосвязь двух геометрических фигур – прямого угла и его проекции.

    Необходимость. Пусть ÐBAC = ÐB1A1C1 = 90° (рис. 6.1). Докажем, что АС // П1. Предположим, что АВ не параллельна П1 (если AB // П1, то плоскость угла BAC параллельна П1 и по свойству 9 ортогонального проецирования имеем:

    ÐBAC =ÐB1A1C1 = 90°). Поскольку ÐB1A1C1 Ì П1, ÐB1A1C1 = 90° и AA1 ^ П1, как проецирующая линия, то плоскости S(A1B1,AA1) и D(A1C1, AA1) взаимно перпендикулярны. В этом случае АВ и AA1 суть наклонная и ее ортогональная проекция на плоскости D. Так как AC Ì D и АС ^ АВ, то по теореме о трех перпендикулярах имеем АС ^ AA1, т.е. АС // П1.

     Достаточность. Пусть ÐВАС = 90°, АС // П1. Докажем, что Ð B1A1C1 = 90°. При данных условиях имеем: AB - наклонная, А1В1 – ее проекция на П1. По теореме о трех перпендикулярах имеем: (АС ^ АВ, АС // П1 ) Þ АС ^ А1В1. Из АС // П1 следует АС // А1С1. Следовательно, А1С1 ^ А1В1 и ÐB1A1C1 = 90°.

     Из обратимости комплексного чертежа (КЧ) следует, что если А2В2, А1В1 и С2В2, С1В1 – проекции пересекающихся прямых АВ и СВ, то при выполнении одного из двух следующих проекционных условий:

    1) А1В1 ^ С1В1 и А2В2 // x либо С2В2 // x;

      2) А2В2 ^ С2В2 и А1В1 // x либо С1В1 // x

    в пространстве имеет место перпендикулярность АВ ^СВ (рис. 6.2).

     Метрические задачи курса начертательной геометрии можно условно разделить на следующие группы:

    1) построение взаимно перпендикулярных фигур:

     прямых, плоскостей, прямых и плоскостей;

    2) определение длин отрезков (расстояний) и

     натуральной величины (НВ) плоской фигуры;

    3) определение углов между фигурами.

      Рассмотрим примеры решений на КЧ метрических задач в каждой группе.

    Построение взаимно перпендикулярных фигур 

     В качестве взаимно перпендикулярных будем рассматривать пары фигур: две прямые, прямая и плоскость, две плоскости, прямая и поверхность. 

     Перпендикулярность двух прямых

     Определение. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Перпендикулярные прямые могут быть пересекающимися и скрещивающимися.

      Задача. Даны прямая АВ и точка С. Построить прямую, проходящую через точку С и пересекающую АВ под прямым углом (рис. 7.1).

    Решение задачи основывается на построениях, приводящих к проекционному изображению условий теоремы о проекции прямого угла (см. рис. 6.2).

    Алгоритм решения в символической записи будет следующим:

    1) х1 // А1В1;

    2) (А2В2, А1В1) Þ А4В4; (С2, С1) Þ С4;

    3) С4D4 ^ А4В4;

    4) D4 Þ D1 Î А1В1; D1 Þ D2 Î А2В2.

    С1D1, C2D2 – решение задачи.

    Задача. Даны прямая АВ и точка D (рис. 7.2).

    Построить прямую, проходящую через точку D, перпендикулярную прямой АВ и образующую с ней  кратчайшее расстояние R, где R < r(D,AB); r – расстояние между фигурами, указанными в скобках.

    Из условия задачи следует, что заданная и искомая прямая – скрещивающиеся. Концы отрезка кратчайшего расстояния R образуют два множества точек: прямую АВ и цилиндрическую поверхность вращения с осью АВ. Из точки D можно провести лишь две прямые, касательные к цилиндрической поверхности и образующие угол 90° с прямой АВ. Алгоритм решения данной задачи в символической записи имеет вид:

    1) х1 // А1В1;

    2) (А2В2, А1В1) Þ А4В4; (D1, D2 ) Þ D4;

    3) х2 ^ А4В4;

    4) (А1В1, А4В4 ) Þ А5 = B5; (D1, D4 ) Þ D5;

    5) D5C5 – касательная к окружности радиуса

     R;

    6) D4C4 ^ А4В4;

    7) (C5, C4 ) Þ C1; (C4, C1) Þ C2.

    C2D2, С1D1 – одно из двух решений задачи. 

    СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ