Начертательная геометрия типовые задачи и методика решений

Начертательная геометрия
  • Ортогональное  (прямоугольное) проецирование
  • Комплексный чертеж
  • Комплексный чертеж прямой
  • Взаимное положение точек и прямых,
    их принадлежность плоскости
  • Принадлежность точки и прямой плоскости
  • Определение расстояния между двумя точками
  • Нахождение натуральной величины плоской фигуры
  • Построение точки пересечения прямой с плоскостью
  • Взаимное положение плоскостей
  • Метрические задачи
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Касательная плоскость и нормаль к поверхности
  • Определение расстояний
  • Определение расстояния
    между скрещивающимися прямыми
  • Угол между прямой и плоскостью
  • Угол между плоскостями
  • Кривая линия
  • Понятие поверхности.
  • Линейчатая поверхность
  •  Гранные поверхности и многогранники
  • Принадлежность точки и линии поверхности вращения
  • Пересечение поверхности и плоскости
  •   Пересечение поверхностей
  • Способ концентрических сфер
  • Пересечение поверхностей второго порядка
  • Развертки гранных поверхностей
  • Приближенные развертки
    развертывающихся поверхностей
  • Условные развертки неразвертывающихся
    поверхностей
  • Аксонометрические проекции
  • Ортогональная (прямоугольная) диметрическая проекция
  • МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
  • Проецирование точки на две и три плоскости проекций
  • Задание прямой в пространстве
  • Длина отрезка прямой и углы наклона прямой
    к плоскостям проекции
  • Задание плоскости
  • Признаки принадлежности точки и прямой плоскости
  • ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
  • ПРЯМАЯ ЛИНИЯ,
    ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ К ПЛОСКОСТИ
  • Замена плоскостей проекций
  • Метод плоскопараллельного перемещения
  • Решение методом вращения вокруг проецирующей оси
  • Сечение многогранников плоскостью
  • Поверхность вращения общего вида
  • ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
  • Плоскость, касательная к поверхности
  • Примеры задачь
  • Определить натуральную длину отрезка АВ
  • Построить проекции линии пересечения двух плоскостей
  • Построение эпюра параллельных плоскостей
  • Построить линию пересечения двух плоскостей
  • Построить горизонтальную проекцию плоской линии,
  • Построить на развертке цилиндра линию,
    принадлежащую поверхности цилиндра 
  •   Построить пересечение двух поверхностей вращения
  • КОМПАС-3D
  • Построение точки пересечения прямой с плоскостью

    Задача на построение точки пересечения прямой с плоскостью, называемая первой позиционной задачей, и широко применяется в начертательной геометрии. Она лежит в основе решения следующих задач на:

     пересечение двух плоскостей;

     пересечение поверхности с плоскостью;

     пересечение прямой с поверхностью;

    на взаимное пересечение поверхностей.

    Построить точку пересечения прямой с плоскостью значит найти точку, принадлежащую одновременно заданной прямой и плоскости. Графически такая точка определяется как точка пересечения прямой с линией, лежащей в плоскости.

    Плоскость занимает проецирующее положение

    Если плоскость занимает проецирующее положение (например, она перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, рис. 5.2), то фронтальная проекция точки пересечения должна одновременно принадлежать фронтальному следу плоскости и фронтальной проекции прямой, то есть быть в точке их пересечения. Поэтому сначала определяется фронтальная проекция M2 точки M (точка пересечения прямой EF с фронтально-проецирующей плоскостью S(DABC)), а затем ее горизонтальная проекция. Точка M1 определена из условия принадлежности точки M прямой EF.

    Полагая, что плоскость S представляет собой не прозрачный треугольник, установим видимость проекций прямой EF. На П2 вся проекция прямой EF видима, так как она не закрывается треугольником. На П1 участок прямой правее M2 невидим, так как он находится ниже плоскости при взгляде на П1.

    Прямая занимает проецирующее положение

    На рис. 5.3 изображена плоскость общего положения P (DABC) и горизонтально-проецирующая прямая EF, пересекающая плоскость в точке M. Фронтальная проекция точки - точка M2 - совпадает с точками E2 и F2, так как M принадлежит прямой. Для построения горизонтальной проекции искомой точки пересечения проведем через точку M в плоскости P прямую (например, KL). Сначала построим ее фронтальную проекцию, а затем горизонтальную. Точка M является точкой пересечения прямых EF и KL.Так как точка M одновременно лежит на прямой EF и в плоскости P (KLÎP), то она является точкой их пересечения.

    Для установления видимости проекции прямой на П1 вводим конкурирующие точки 1 и 2. Так как точка 2 дальше удалена от плоскости П1, то относительно П1 она будет видимой, а невидимой будет точка 1. Заметим, что точка 2 принадлежит прямой EF. Следовательно, в окрестности точек 11=21 до M1 проекция прямой будет видимой. Выше M1 проекция прямой будет невидимой. Невидимый участок проекции прямой показан штриховой линией.

    5.3 Прямая и плоскость занимают общее положение

    Пусть даны плоскость S и прямая AB (рис. 5.4a). В общем случае они имеют одну общую точку. Эта точка, принадлежащая прямой и плоскости, будет принадлежать и некоторой прямой n этой плоскости. Заметим, что в плоскости через точку можно провести однопараметрическое множество прямых - ¥. Выделив хотя бы одну из них, легко определим искомую точку. Следовательно, поставленная задача сводится к отысканию некоторой прямой n, принадлежащей заданной плоскости и пересекающей исходную прямую AB.

    Прямую n можно рассматривать как проекцию прямой AB на заданную плоскость S (в более широком смысле прямая n есть отображение прямой AB на плоскость S). Для случая линейного проецирования прямые n и AB принадлежат одной плоскости и являются конкурирующими относительно плоскости S. Последнее используем для определения точки пересечения прямой и плоскости. Тогда алгоритм решения поставленной задачи будет следующим:

    на заданной плоскости S проведем проекции прямой KL (рис. 5.4б), конкурирующей с заданной прямой AB относительно плоскостей S и Π2; сначала находим K2L2, а затем K1L1; прямые KL и AB расположены во фронтально-проецирующей плоскости;

    находим точки M1=K1L1ÇA1B1 и M2ÎA2B2 пересечения проекций прямых AB и KL; точка M(M1,M2)-искомая;

    определяем видимость прямой и плоскости относительно плоскостей проекций.

     

    Для определения видимых участков прямой AB анализируем положение конкурирующих точек скрещивающихся прямых. Так, точки 1 и 2 находятся на скрещивающихся прямых AB и DE: 1ÎDE, 2ÎAB. Их горизонтальные проекции 11 и 21 совпадают. По фронтальным проекциям точек 1 и 2 при взгляде по на плоскость П1 видно, что точка 1 (точка плоскости) находится над точкой 2 (точка прямой) , то есть она закрывает точку 2 при проецировании на горизонтальную плоскость проекций. Следовательно, прямая AB на участке M2 расположена под треугольником CDE. Тогда горизонтальная проекция отрезка M2 - M121 будет невидимой. Она показана штриховой линией.

    Невидимый участок на фронтальной проекции прямой AB установлен анализом положения точек L и 3 (LÎCE, 3ÎAB), принадлежащих скрещивающимся прямым AB и CE. По горизонтальной проекции видно, что если смотреть на плоскость П2, то невидимой будет точка 3, принадлежащая, прямой. Она ближе расположена к плоскости проекций П2. На фронтальной плоскости проекций точка L закрывает точку 3. В этом месте прямая AB закрыта треугольником СDE. На П2 невидимый участок M232 показан штриховой линией.

    Задача на пересечение прямой и плоскости общего положения может быть сведена к одному из частных случаев, рассмотренных выше. Для этого прямую или плоскость нужно перевести в проецирующее положение. Ниже приведено решение (рис. 5.5), в котором методом замены плоскостей проекций в проецирующее положение переведена плоскость. На П4 определена проекция M4 искомой точки, а затем по линиям связи установлены проекции точки и на исходных плоскостях проекций. Исходные данные взяты такими же, что и в предыдущей задаче. Поэтому установление видимости проекций прямой не рассматривается.

    СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ