Начертательная геометрия типовые задачи и методика решений

Начертательная геометрия
  • Ортогональное  (прямоугольное) проецирование
  • Комплексный чертеж
  • Комплексный чертеж прямой
  • Взаимное положение точек и прямых,
    их принадлежность плоскости
  • Принадлежность точки и прямой плоскости
  • Определение расстояния между двумя точками
  • Нахождение натуральной величины плоской фигуры
  • Построение точки пересечения прямой с плоскостью
  • Взаимное положение плоскостей
  • Метрические задачи
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Касательная плоскость и нормаль к поверхности
  • Определение расстояний
  • Определение расстояния
    между скрещивающимися прямыми
  • Угол между прямой и плоскостью
  • Угол между плоскостями
  • Кривая линия
  • Понятие поверхности.
  • Линейчатая поверхность
  •  Гранные поверхности и многогранники
  • Принадлежность точки и линии поверхности вращения
  • Пересечение поверхности и плоскости
  •   Пересечение поверхностей
  • Способ концентрических сфер
  • Пересечение поверхностей второго порядка
  • Развертки гранных поверхностей
  • Приближенные развертки
    развертывающихся поверхностей
  • Условные развертки неразвертывающихся
    поверхностей
  • Аксонометрические проекции
  • Ортогональная (прямоугольная) диметрическая проекция
  • МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
  • Проецирование точки на две и три плоскости проекций
  • Задание прямой в пространстве
  • Длина отрезка прямой и углы наклона прямой
    к плоскостям проекции
  • Задание плоскости
  • Признаки принадлежности точки и прямой плоскости
  • ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
  • ПРЯМАЯ ЛИНИЯ,
    ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ К ПЛОСКОСТИ
  • Замена плоскостей проекций
  • Метод плоскопараллельного перемещения
  • Решение методом вращения вокруг проецирующей оси
  • Сечение многогранников плоскостью
  • Поверхность вращения общего вида
  • ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
  • Плоскость, касательная к поверхности
  • Примеры задачь
  • Определить натуральную длину отрезка АВ
  • Построить проекции линии пересечения двух плоскостей
  • Построение эпюра параллельных плоскостей
  • Построить линию пересечения двух плоскостей
  • Построить горизонтальную проекцию плоской линии,
  • Построить на развертке цилиндра линию,
    принадлежащую поверхности цилиндра 
  •   Построить пересечение двух поверхностей вращения
  • КОМПАС-3D
  • Проецирование плоскости общего положения в прямую на новую плоскость проекций. Нахождение натуральной величины плоской фигуры

    Если спроецировать какую – либо прямую m, принадлежащую плоскости общего положения S, в точку, то плоскость S спроецируется на эту же плоскость проекций в прямую линию. Действительно, прямая m перпендикулярна плоскости проекций и, значит, плоскость S проходит через перпендикуляр к плоскости проекций и тоже ей перпендикулярна. Плоскость S является проецирующей плоскостью и на плоскость проекций проецируется в прямую. Если m – прямая общего положения, то для проецирования ее в точку потребуется две замены плоскостей проекций (рис. 4.6). Если m – прямая уровня, то для ее проецирования в точку потребуется одна замена плоскостей проекций (рис. 4.5).

    Пусть S – плоскость общего положения, заданная треугольником АВС (рис. 4.7). В плоскости S проведем горизонталь h, спроецируем горизонталь h в точку h4 на плоскость П4 (x14 ^ h1, П4 ^ h), построим новые проекции точек А4, В4, С4. Плоскость S проецируется в прямую, проходящую через точки А4, В4, С4. Плоскость S в системе (П1П4) является проецирующей плоскостью, она перпендикулярна П4. Треугольник АВС проецируется на П4 в отрезок В4С4.

    Для нахождения натуральной величины треугольника АВС введем плоскость проекций П5 параллельно плоскости треугольника и перпендикулярно П4. Новая ось x45 параллельна отрезку D4C4 (в противном случае S и П5 пересекутся). Треугольник АВС проецируется на плоскость П5 в натуральную величину DА5В5С5 = DАВС. Аналогично находится натуральная величина любой плоской фигуры. Плоскость S в системе (П4П5) является плоскостью уровня.

    Если необходимо построить в плоскости S какую – либо фигуру, то выполнить это построение в плоскости общего положения трудно. В этом случае проводятся построения, показанные на рис. 4.7. На П5 строится натуральная величина фигуры. Затем находятся остальные проекции этой фигуры. На рис. 4.7 по проекции D5 (одна точка натуральной величины фигуры) найдены остальные проекции этой точки. Проекция D4 принадлежит прямой, в которую проецируется плоскость S. Последовательность построений показана стрелками. Правило замены плоскостей проекций справедливо и в этом случае. Равные отрезки помечены одинаково. Таким способом можно построить, например, окружность, вписанную в треугольник ABC. На плоскости П5 строится окружность, вписанная в треугольник А5В5С5, а затем находятся остальные проекции ряда точек окружности так же, как для точки D5. Горизонтальная и фронтальная проекции этой окружности – эллипсы.

    В случае, когда дана проецирующая плоскость, построений связанных с натуральной величиной фигуры, конечно, меньше, так как плоскость уже проецируется в прямую линию. На рис. 4.8 показано построение квадрата принадлежащего горизонтально проецирующей плоскости. Пусть дана горизонтально проецирующая плоскость S(S1) и две точки этой плоскости А(А1, А2) и В(В1, В2). Необходимо построить квадрат ABCD в плоскости S. Соединяем отрезками проекции А2,В2 и А1,В1. Получили проекции стороны квадрата. Вводим плоскость П4 // S1 (x14 // S1). Строим новую проекцию А4В4. Достраиваем к отрезку А4В4 квадрат А4В4С4D4. Проекции С1 и D1 принадлежат S1. Проекции С2 и D2 строятся по правилам замены плоскостей проекций. У этой задачи есть второе решение – квадрат симметричный построенному относительно прямой (АВ). Это второе решение можно построить не пользуясь проекцией на плоскость П4 сразу на плоскостях П2 и П1.

     

     

    5. Первая и вторая позиционные задачи

    Позиционные задачи – это задачи, в которых требуется определить положение фигуры относительно плоскостей проекций или взаимное положение фигур – их принадлежность, параллельность и пересечение.

    Взаимное положение прямой и плоскости

    Взаимное положение прямой и плоскости определяется количеством общих точек: а) если прямая имеет две общие точки с плоскостью, то она принадлежит этой плоскости; б) если прямая имеет одну общую точку с плоскостью, то прямая пересекает плоскость; в) если точка пересечения прямой с плоскостью удалена в бесконечность (несобственная), то прямая и плоскость параллельны.

    Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. Чтобы построить такую прямую, надо в плоскости задать прямую и параллельно ей провести нужную прямую.

    Пусть плоскость задана треугольником Σ(ΔABC). Через точку E (рис. 5.1) необходимо провести прямую EF, параллель-ную плоскости Σ. Для этого через горизонтальную проекцию точки Е(Е1) проведем горизонтальную проекцию E1F1 искомой прямой параллельно горизонтальной проекции любой прямой, лежащей в плоскости Σ, например, прямой AB (E1F1 II A1B1). Через фронтальную проекцию E2 точки E параллельно AB проводим фронтальную проекцию E2F2 искомой прямой EF (E2F2 II A2B2). Прямая EF параллельна плоскости Σ, заданной треугольником ABC.

    Прямая будет также параллельна плоскости, если она лежит в плоскости, параллельной данной.

     

     

     

     

    СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ