Начертательная геометрия типовые задачи и методика решений

Начертательная геометрия
  • Ортогональное  (прямоугольное) проецирование
  • Комплексный чертеж
  • Комплексный чертеж прямой
  • Взаимное положение точек и прямых,
    их принадлежность плоскости
  • Принадлежность точки и прямой плоскости
  • Определение расстояния между двумя точками
  • Нахождение натуральной величины плоской фигуры
  • Построение точки пересечения прямой с плоскостью
  • Взаимное положение плоскостей
  • Метрические задачи
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Касательная плоскость и нормаль к поверхности
  • Определение расстояний
  • Определение расстояния
    между скрещивающимися прямыми
  • Угол между прямой и плоскостью
  • Угол между плоскостями
  • Кривая линия
  • Понятие поверхности.
  • Линейчатая поверхность
  •  Гранные поверхности и многогранники
  • Принадлежность точки и линии поверхности вращения
  • Пересечение поверхности и плоскости
  •   Пересечение поверхностей
  • Способ концентрических сфер
  • Пересечение поверхностей второго порядка
  • Развертки гранных поверхностей
  • Приближенные развертки
    развертывающихся поверхностей
  • Условные развертки неразвертывающихся
    поверхностей
  • Аксонометрические проекции
  • Ортогональная (прямоугольная) диметрическая проекция
  • МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
  • Проецирование точки на две и три плоскости проекций
  • Задание прямой в пространстве
  • Длина отрезка прямой и углы наклона прямой
    к плоскостям проекции
  • Задание плоскости
  • Признаки принадлежности точки и прямой плоскости
  • ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
  • ПРЯМАЯ ЛИНИЯ,
    ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ К ПЛОСКОСТИ
  • Замена плоскостей проекций
  • Метод плоскопараллельного перемещения
  • Решение методом вращения вокруг проецирующей оси
  • Сечение многогранников плоскостью
  • Поверхность вращения общего вида
  • ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
  • Плоскость, касательная к поверхности
  • Примеры задачь
  • Определить натуральную длину отрезка АВ
  • Построить проекции линии пересечения двух плоскостей
  • Построение эпюра параллельных плоскостей
  • Построить линию пересечения двух плоскостей
  • Построить горизонтальную проекцию плоской линии,
  • Построить на развертке цилиндра линию,
    принадлежащую поверхности цилиндра 
  •   Построить пересечение двух поверхностей вращения
  • КОМПАС-3D
  • Принадлежность точки и прямой плоскости

    Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой либо прямой этой плоскости.

    Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат плоскости.

    Эти два, вполне очевидных, предложения часто называют условиями принадлежности точки и прямой плоскости.

    На рис. 3.6 плоскость общего положения задана треугольником АВС. Точки А, В, С принадлежат этой плоскости, так как являются вершинами треугольника из этой плоскости. Прямые (АВ), (ВС), (АС) принадлежат плоскости, так как по две их точки принадлежат плоскости. Точка N принадлежит (AC), D принадлежит (AB), E принадлежит (CD) и, значит, точки N и E принадлежат плоскости (DABC), тогда прямая (NE) принадлежит плоскости (DABC).

    Если задана одна проекция точки L, например L2, и известно, что точка L принадлежит плоскости (DABC), то для нахождения второй проекции L1 последовательно находим (A2L2), K2, (A1K1), L1.

     Если условие принадлежности точки плоскости нарушено, то точка не принадлежит плоскости. На рис. 3.6 точка R не принадлежит плоскости (DABC), так как R2 принадлежит (F2K2), а R1 не принадлежит (A1K1).

    На рис. 3.7 приведен комплексный чертеж горизонтально проецирующей плоскости (DCDE). Точки K и P принадлежат этой плоскости, так как P1 и K1 принадлежат прямой (D1C1), являющейся горизонтальной проекцией плоскости (DCDE). Точка N не принадлежит плоскости, так как N1 не принадлежит (D1C1). 

    Все точки плоскости (DCDE) проецируются на П1 в прямую (D1C1). Это следует из того, что плоскость (DCDE) ^ П1. В этом же можно убедиться, если проделать для точки P (или любой другой точки) построения, которые были сделаны для точки L (рис. 3.6). Точка P1 попадет на прямую (D1C1). Таким образом, для того, чтобы определить принадлежность точки горизонтально проецирующей плоскости, фронтальная проекция (DC2D2E2) не нужна. Поэтому, в дальнейшем, проецирующие плоскости будут задаваться только одной проекцией (прямой линией). На рис. 3.7 показана фронтально проецирующая плоскость S, заданная фронтальной проекцией S2, а также точки A Î S и B Ï S.

    Взаимное положение точки и плоскости сводится к принадлежности или не принадлежности точки плоскости.

    При решении многих задач приходится строить линии уровня, принадлежащие плоскостям общего и частного положения. На рис. 3.8 показаны горизонталь h и фронталь f, принадлежащие плоскости общего положения (DABC). Фронтальная проекция h2 параллельна оси x, поэтому прямая h - горизонталь. Точки 1 и 2 прямой h принадлежат плоскости, поэтому прямая h принадлежит плоскости. Таким образом, прямая h - это горизонталь плоскости (DABC). Обычно порядок построения такой: h2; 12, 22; 11, 21; (1121) = h1. Фронталь f проведена через точку A. Порядок построения: f1 // x, A1Î f1; 31, 32; (A232) = f2.


    На рис. 3.9 показаны проекции горизонтали и фронтали для фронтально проецирующей плоскости S и горизонтально проецирующей плоскости Г. В плоскости S горизонталь является фронтально проецирующей прямой и проходит через точку A (попытайтесь представить горизонталь как линию пересечения S и плоскости, проходящей через точку A параллельно П1). Фронталь проходит через точку С. В плоскости Г горизонталь и фронталь проведены через одну точку D. Фронталь является горизонтально проецирующей прямой.

    Из рассмотренных выше построений следует, что линию уровня в плоскости можно провести через любую точку этой плоскости.

    Совпадение плоскостей можно трактовать как принадлежность одной плоскости другой. Если три точки одной плоскости принадлежат другой плоскости, то эти плоскости совпадают. Упомянутые три точки не должны лежать на одной прямой. На рис. 3.10 плоскость (DDNE) совпадает с плоскостью S(DABC), так как точки D, N, E принадлежат плоскости S(DABC).

     Обратим внимание на то, что плоскость S, заданная DABC, теперь может быть задана DDNE. Любая плоскость может быть задана линиями уровня. Для этого необходимо через точку плоскости S(DABC) (например, через точку А) провести в плоскости горизонталь и фронталь, которые и будут задавать плоскость S (на рис. 3.10 построения не показаны). Последовательность построения горизонтали: h2 // x (A2 Î h2); K2 = h2 Ç B2C2; K1 Î B1C1 (K2K1 ^ x); A1K1 = h1. Последовательность построения фронтали: f1 // x (A1 Î f1); L1 = f1 Ç B1C1; L2 Î B2C2 (L1L2 ^ x); A2L2 = f2. Можно записать S(DABC) = S(h, f).

    Преобразование комплексного чертежа.

    В курсе начертательной геометрии под преобразованием комплексного чертежа фигуры обычно понимается его изменение, вызванное перемещением фигуры в пространстве, или введением новых плоскостей проекций, или использованием других видов проецирования. Применение различных методов (способов) преобразования комплексного чертежа упрощает решение многих задач.

    Метод замены плоскостей проекций

    Метод замены плоскостей проекций состоит в том, что вместо одной из плоскостей проекций вводится новая плоскость, перпендикулярная к другой плоскости проекций. На рис. 4.1 показана пространственная схема получения комплексного чертежа точки А в системе (П1П2). Точки А1 и А2 – горизонтальная и фронтальная проекции точки А, АА1АxА2 – прямоугольник, плоскость которого перпендикулярна оси x (рис. 2.3).

    Новая плоскость П4 перпендикулярна П1. При проецировании точки А на П4 получим новую проекцию А4, фигура АА1А14А4 – прямоугольник, плоскость которого перпендикулярна новой оси x14 = П4 Ç П1. Для получения комплексного чертежа будем рассматривать фигуры, расположенные в плоскостях проекций. Поворотом вокруг оси x14 совместим П4 с П1, затем поворотом вокруг оси x совместим П1 (и П4) с П2 (на рис. 4.1 направления движения плоскостей П4 и П1 показаны штриховыми линиями со стрелками). Полученный чертеж приведен на рис. 4.2. Прямые углы на рис. 4.1, 4.2 помечены дугой с точкой, равные отрезки помечены двумя штрихами (противоположные стороны прямоугольников на рис. 4.1). От комплексного чертежа точки А в системе (П1П2) перешли к комплексному чертежу точки А в системе (П1П4), заменили плоскость П2 на плоскость П4, заменили А2 на А4.

    На основе этих построений сформулируем правило замены плоскостей проекций (правило получения новой проекции). Через незаменяемую проекцию проводим новую линию проекционной связи перпендикулярно новой оси, затем от новой оси по линии проекционной связи откладываем отрезок, длина которого равна расстоянию от заменяемой проекции до старой оси, полученная при этом точка и есть новая проекция. Направление новой оси будем брать произвольно. Новое начало координат указывать не будем.

    На рис. 4.3 показан переход от комплексного чертежа в системе (П1П2) к комплексному чертежу в системе (П2П4), а затем еще один переход к комплексному чертежу в системе (П4П5). Вместо плоскости П1 введена плоскость П4, перпендикулярная П2, затем вместо П2 введена плоскость П5, перпендикулярная П4. Используя правило замены плоскостей проекций, можно выполнить любое количество замен плоскостей проекций.

     

     

     

     

     

    СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ