Начертательная геометрия типовые задачи и методика решений

Начертательная геометрия
  • Ортогональное  (прямоугольное) проецирование
  • Комплексный чертеж
  • Комплексный чертеж прямой
  • Взаимное положение точек и прямых,
    их принадлежность плоскости
  • Принадлежность точки и прямой плоскости
  • Определение расстояния между двумя точками
  • Нахождение натуральной величины плоской фигуры
  • Построение точки пересечения прямой с плоскостью
  • Взаимное положение плоскостей
  • Метрические задачи
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Касательная плоскость и нормаль к поверхности
  • Определение расстояний
  • Определение расстояния
    между скрещивающимися прямыми
  • Угол между прямой и плоскостью
  • Угол между плоскостями
  • Кривая линия
  • Понятие поверхности.
  • Линейчатая поверхность
  •  Гранные поверхности и многогранники
  • Принадлежность точки и линии поверхности вращения
  • Пересечение поверхности и плоскости
  •   Пересечение поверхностей
  • Способ концентрических сфер
  • Пересечение поверхностей второго порядка
  • Развертки гранных поверхностей
  • Приближенные развертки
    развертывающихся поверхностей
  • Условные развертки неразвертывающихся
    поверхностей
  • Аксонометрические проекции
  • Ортогональная (прямоугольная) диметрическая проекция
  • МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
  • Проецирование точки на две и три плоскости проекций
  • Задание прямой в пространстве
  • Длина отрезка прямой и углы наклона прямой
    к плоскостям проекции
  • Задание плоскости
  • Признаки принадлежности точки и прямой плоскости
  • ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
  • ПРЯМАЯ ЛИНИЯ,
    ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ К ПЛОСКОСТИ
  • Замена плоскостей проекций
  • Метод плоскопараллельного перемещения
  • Решение методом вращения вокруг проецирующей оси
  • Сечение многогранников плоскостью
  • Поверхность вращения общего вида
  • ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
  • Плоскость, касательная к поверхности
  • Примеры задачь
  • Определить натуральную длину отрезка АВ
  • Построить проекции линии пересечения двух плоскостей
  • Построение эпюра параллельных плоскостей
  • Построить линию пересечения двух плоскостей
  • Построить горизонтальную проекцию плоской линии,
  • Построить на развертке цилиндра линию,
    принадлежащую поверхности цилиндра 
  •   Построить пересечение двух поверхностей вращения
  • КОМПАС-3D
  • Комплексный чертеж

    Изображение фигуры, полученное при проецировании фигуры на плоскость, дает информацию о фигуре. Однако, эта информация является неполной. По изображению на плоскости нельзя восстановить фигуру и ее положение в пространстве, т.е. чертеж, содержащий одну проекцию фигуры необратим. Действительно, по проекции А1 (рис. 1.1) найти точку А в пространстве невозможно, так как по проекции нельзя найти расстояние точки А до плоскости П1. По проекции отрезка CD (точка C1 = D1) найти длину этого отрезка невозможно. Одним из методов, позволяющих добиться обратимости чертежа, является увеличение числа плоскостей проекций.

    Комплексный чертеж точки


    Рассмотрим проецирование точки на три и две плоскости проекций. В пространстве зададим прямоугольный параллелепипед AA2AzA3A1AxOAy (рис. 2.1). Свойства этой фигуры известны из курса геометрии средней школы: ребра, выходящие из одной вершины, перпендикулярны друг другу; каждая грань – прямоугольник; любое ребро параллельно трем ребрам и перпендикулярно восьми ребрам; параллельные ребра имеют одинаковую длину.

    Через ребра, выходящие из вершины O, проведем оси x, y, z (рис. 2.2). Система Oxyz является декартовой системой координат (оси перпендикулярны, единица измерения одинакова по всем осям, точка O – начало координат).

    Через грани, проходящие через точку O, проведем плоскости П1, П2, П3 (рис. 2.3). Тогда оси x и y принадлежат плоскости П1 (горизонтальная плоскость проекций), оси x и z принадлежат П2 (фронтальная плоскость проекций), оси y и z принадлежат П3 (профильная плоскость проекций). Пространство делится плоскостями проекций П1, П2 и П3 на восемь частей – октантов. Номера их показаны на рис. 2.3.

    Пусть точка А является точкой пространства, для которой мы хотим построить комплексный чертеж. Тогда, ортогонально проецируя точку А на П1, получим точку А1. Действительно, точка А1 принадлежит П1, ребро АА1 перпендикулярно плоскости П1, т. е. А1 – ортогональная проекция точки А на плоскость П1. Точка А1 – горизонтальная проекция точки А. Ортогонально проецируя точку А на П2, получим А2 (фронтальная проекция точки А), ортогонально проецируя точку А на П3, получим А3 (профильная проекция точки А). Доказательство такое же, как и для проекции А1. Обратим внимание на то, что при проецировании точки на две плоскости проекций фигура AA1AxA2 – прямоугольник, плоскость которого перпендикулярна оси Ox.

    Безразмерное число, по абсолютной величине равное расстоянию от точки А до плоскости проекций и взятое со знаком, называется координатой точки. Так, например, координата xA (измеряется вдоль оси x) по абсолютной величине равна длине отрезка А3А и положительна, если точка А находится в том же полупространстве относительно плоскости П3, что и положительная полуось оси x. В противном случае координата отрицательна. Все ребра параллелепипеда, параллельные и равные А3А будем называть координатными отрезками xA. Это отрезки А3А, АyА1, ОАx, АzА2. Длины этих отрезков, взятые со знаком, являются координатой xА точки А. Аналогично вводятся и координатные отрезки yА и zА. Координатные отрезки yА: А2А; АxА1; ОАy; АzА3. Координатные отрезки zА: А1А; АyА3; ОАz; АxА2. Напомним, что ломаная ОАxА1А называется координатной ломаной. Ее звенья – координатные отрезки xА, yА, zА. Запись В(3; 2; 5) означает, что координата xВ = 3, координата yВ = 2, координата zВ = 5.


    Будем рассматривать только те точки и линии, которые расположены в плоскостях проекций и выполним повороты плоскостей П1 и П3 вокруг осей x и y соответственно до совмещения с плоскостью П2. Направления поворотов на рис. 2.3 показаны штриховыми линиями. Плоскость П2 является плоскостью чертежа. После поворота оси координат займут положение, показанное на рис. 2.4.

    Ось y, двигаясь с плоскостью П1 попадает на ось z, а двигаясь с плоскостью П3, попадает на ось x. Это второе положение оси y обозначим y'. Достраивая ребра параллелепипеда, расположенные в плоскостях проекций, получим рис. 2.5. Поскольку ребра параллелепипеда, проходящие через вершину Аx, взаимно перпендикулярны, то получим, что А2Аx и АxА1 расположены на одной прямой, перпендикулярной оси x. Аналогично отрезки А2Аz и АzА3 расположены на одной прямой, перпендикулярной оси z. Прямые (А1А2) и (А2А3) называются линиями проекционной связи (иногда под линиями проекционной связи понимают соответствующие отрезки этих прямых).

    На рис. 2.5 обозначены координатные отрезки xА, yА, zА, Для того чтобы обеспечить линейную связь между А1 и А3, введем прямую k (постоянная прямая чертежа). Ломанную А1АkА3 (или две пересекающиеся прямые А1Аk и АkА3) будем считать линией проекционной связи для А1 и А3.

    Таким образом, точке А пространства соответствует изображение на плоскости, состоящее из трех связанных между собой линиями проекционной связи проекций А1, А2, А3, которое называется комплексным чертежом точки A в системе (П1П2П3). Этот чертеж обратим, так как на нем присутствуют все три координатных отрезка, что устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками пространства и их изображениями на плоскости.

    В курсе черчения, при изображении предметов на чертеже, горизонтальная проекция называется видом сверху, фронтальная – видом спереди, профильная – видом слева.

    Если известны А1 и А2, то А3 можно построить. Достаточно провести через А2 линию проекционной связи перпендикулярно оси z и через А1 – ломаную линию проекционной связи. Пересечение этих линий и будет точка А3. Кроме того, на чертеже, содержащем только А1 и А2, присутствуют все координатные отрезки, т. е. такой чертеж тоже обратим. Изображение точки А, состоящее из связанных между собой линией проекционной связи проекций А1 и А2, называется комплексным чертежом точки А в системе (П1П2) или комплексным чертежом. При получении такого чертежа плоскость П3 не вводится. Пространство двумя плоскостями П1 и П2 делится на четыре части – четверти. Номера четвертей совпадают с номерами первых четырех октантов.

    Для построения комплексного чертежа точки А(xА, yА, zА) необходимо построить по координатам А1(xА, yА) и А2(xА, zА). Если рассматривается комплексный чертеж в системе (П1П2П3), то можно по координатам построить А3(yА, zА), при этом используется ось y'. Можно А3 построить и по линиям проекционной связи. При откладывании координатных отрезков на отрицательных полуосях необходимо обратить внимание на то, что отрицательные полуоси одних осей совпадают с положительными полуосями других осей.

    На рис. 2.6 приведены комплексные чертежи в системе (П1П2П3) точек А(3; 4; 2) и В(2; 3; -2), С(-1; 0; 3). Единица измерения помечена штрихами на координатных отрезках. Точка А находится в первом октанте, точка В – в четвертом октанте, точка С принадлежит плоскости П2. О точке С можно сказать, что она принадлежит пятому и шестому октантам одновременно. На рис. 2.7 приведены комплексные чертежи в системе (П1П2) точек К(4; 2; 2) и L(5; -3; 4), M(6; -2 -3), N(1; 3; -5), F(-2; 3; 4). Точки К и F находятся в первой четверти, точка L – во второй, точка М – в третьей, точка N – в четвертой четверти.

    Принадлежность точки определенной четверти или октанту можно выявить по знакам координат x, y, z этой точки. Для точек каждой четверти или октанта характерны определенные знаки координат. Можно представить координатные плоскости, оси координат (рис. 2.3) и мысленно построить координатную ломаную точки (ОAxА1А на рис. 2.3) и "увидеть" в какой четверти или октанте находится точка.

    Знаки координат x, y, z в октантах: 1(+; +; +); 2(+; −; +); 3(+; −; −); 4(+; +; −); 5(−; +; +); 6(−; −; +); 7(−; −; −); 8(−; +; −).


    Знаки координат в четвертях: 1(±; +; +); 2(±; −; +); 3(±; −; −); 4(±; +; −). 

     В дальнейшем рассматриваются комплексные чертежи фигур в системе (П1П2). Единица измерения по всем осям одинакова – один миллиметр и специально помечаться штрихами не будет.

    СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ