Физика примеры решения задач

Физика
  • Основные типы связей в твердых телах
  • Внутренняя структура твердых тел
  • Обратная решетка
  • Дифракция в кристаллах
  • Упругие свойства кристаллов
  • Динамика решетки
  • Тепловые свойства твердых тел
  • Электроны в металлах.
  • Зонная теория твердых тел
  • Дефекты кристаллической решетки
  • Раздел «Кинематика»
  • Раздел «Динамика»
  • Механические колебания и волны. Акустика
  • Уравнение движения материальной точки
  • Молекулярная физика и термодинамика.
  • Раздел. «Электростатика»
  • Раздел «Постоянный ток»
  • Раздел «Переменный ток»
  • Электрическое поле
  • Элементы атомной и ядерной физики
  • Взаимодействие света с веществом.
  • Основные физические константы в СИ
  • Упругие свойства кристаллов

    Пример 1. Кубический кристалл подвергнут растяжению в направлении [100]. Найти выражение для коэффициента Пуассона через упругие постоянные или модули упругости.

    РЕШЕНИЕ.

     Закон Гука для анизотропного тела записывается таким образом:

    S1=s11T1+s12T2+s13T3+s14T4+s15T5+s16T6;

    S2=s21T1+s22T2+s23T3+s24T4+s25T5+s26T6;

    S3=s31T1+s32T2+s33T3+s34T4+s35T5+s36T6;

    S4=s41T1+s42T2+s43T3+s44T4+s45T5+s46T6;

    S5=s51T1+s52T2+s53T3+s54T4+s55T5+s56T6;

    S6=s61T1+s62T2+s63T3+s64T4+s65T5+s66T6;

    Для кубического кристалла закон Гука записывается таким образом:

    S1=s11T1+s12T2+s12T3;

    S2=s12T1+s11T2+s12T3;

    S3=s12T1+s12T2+s11T3;

    S4=s44T4;

    S5=s44T5;

    S6=s44T6;

    Если существуют напряжения растяжения только вдоль оси [100], то лишь Т1¹0. Тогда:

    S1=s11T1; S2=s12T1; S3=s12T1. Так как коэффициент Пуассона n=-S2/S1, то следует, что: n= -s12/s11.

    ОТВЕТ: n= -s12/s11.

    Пример 2: Кубический кристалл подвергнут гидростатическому сжатию. Показать, что величина обратная сжимаемости В=-V(dP/dV), связана с упругими постоянными соотношением В=(с11+2с12)/3.

    РЕШЕНИЕ.

     В общем случае закон Гука для анизотропного тела записывается следующим образом: Sq=sqrTr (q, r = 1, 2, 3, 4, 5, 6), где Sq- компоненты тензора деформации, Tr-компонетнты тензора напряжения. При гидростатическом сжатии Т1=Т2=Т3=-Р и Т4= Т5=Т6=0. Тогда закон Гука перепишется таким образом:

    S1=- (s11+s12+s13) P,

    S2 = -(s12+s22+s23) P,

    S3 = -(s13+s23+s33) P,

    S4 = -(s14+s24+s34) P,

    S5 = -(s15+s25+s35) P,

    S6 = -(s16+s26+s35) P.

    Объемная деформация определяется суммой S1+S2+S3. Тогда:

      S1+S2+S3= -[s11+s22+s33+2(s12+s23+s13)] P.

    Так как для кубических кристаллов  s11=s22=s33 и s12=s23=s13, то сжимаемость:

    æ = - (S1+S2+S3)/ Р= 3 (s11+2s12).

    Поскольку: с11+2с12 =1/( s11+2s12), то В=1/ æ= (с11+2с12)/3.

    ОТВЕТ: В=(с11+2с12)/3.

    ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

    Показать, что скорость u волны сдвига, распространяющейся вдоль направления [110], когда частицы колеблются в направлении в кубическом кристалле, равна , где r-плотность кристалла.

    Найти соотношение между модулями упругости и упругими податливостями кубического кристалла.

    ОТВЕТ: С11= C12= C44 =.

    Упругие постоянные бериллия С11, С33, С44, С12, С13 соответственно равны: 30,8×1010, 35,7×1010, 11,0×1010, -5,8×1010 и 8,7×1010 Н/м2. Бериллий имеет гексагональную решетку, для которой набор постоянных упругой жесткости сводится к матрице:

    .

    Вычислить коэффициенты податливостей.

    ОТВЕТ: S11»0,37×10-11 м2/Н; S12»0,11× 10-11 м2/Н; S13»-0,11× 10-11 м2/Н; S33»0,34× 10-11 м2/Н; S44»0,9× 10-11 м2/Н;

    Податливости никеля (кубическая решетка) S11, S12, S44 при комнатной температуре соответственно равны 0,799×10-11, -0,312×10-11 и 0,84×10-11 м2/Н. Определить модуль Юнга и модуль сдвига никеля в направлении [210].

    ОТВЕТ: Е » 1,87×1011 Н/м2; G » 0,79×1011Н/м2.

    Определить модули упругости С22,С44, С66 и С46 моноклинного кристалла по скоростям распространения ультразвуковых волн, приведенных в таблице. Плотность кристалла 1160 кг/м3.

     Направление распространения волны

    Направление смещения в волне

    Скорость звука, м/сек

    010

    100

    001

    010

    010

    010

    010

    010

    100

    001

    2890

    1450

    1680

    1400

    1510

    ОТВЕТ: С22 » 9,7×109 Н/м2; С44 » 3,3×109 Н/м2; С66 » 2,4×109 Н/м2; С46 » 1,39×109 Н/м2.

    Сжимаемость меди 0,76×1011 м2/Н. Определить характеристическую температуру меди, если постоянная решетки 3,61 Å.

    ОТВЕТ: q » 342 К.

    Сжимаемость меди 0,76×1011 м2/Н, коэффициент Пуассона 0,334. Определить характеристическую температуру меди. Сравнить это значение характеристической температуры со значением, полученным в предыдущей задаче.

    ОТВЕТ: q » 342 К.

    Резонансная частота цилиндрического никелевого стержня длиной 10 см и диаметром 0,442 см равна 1880 Гц. Определить модуль Юнга и модуль сдвига никеля, если плотность его 8800 кг/м3.

    ОТВЕТ: Е » 2050 кГ/м2; G » 1268 кГ/м2.

    Показать, что скорость продольной волны, распространяющейся в направлении [111] в кубическом кристалле, равна . Для такой волны u=u=w. Положить:

      .

    4.10. Показать, что скорость поперечных волн, распространяющихся в направлении [111] в кубическом кристалле, равна . Использовать задачу 4.9.

    Физика - лекции, конспекты, примеры решения задач