Физика примеры решения задач

Физика
  • Основные типы связей в твердых телах
  • Внутренняя структура твердых тел
  • Обратная решетка
  • Дифракция в кристаллах
  • Упругие свойства кристаллов
  • Динамика решетки
  • Тепловые свойства твердых тел
  • Электроны в металлах.
  • Зонная теория твердых тел
  • Дефекты кристаллической решетки
  • Раздел «Кинематика»
  • Раздел «Динамика»
  • Механические колебания и волны. Акустика
  • Уравнение движения материальной точки
  • Молекулярная физика и термодинамика.
  • Раздел. «Электростатика»
  • Раздел «Постоянный ток»
  • Раздел «Переменный ток»
  • Электрическое поле
  • Элементы атомной и ядерной физики
  • Взаимодействие света с веществом.
  • Основные физические константы в СИ
  • Пример 1. Найти численное значение уровня Ферми меди при абсолютном нуле, учитывая, что на каждый атом меди в кристалле имеется один электрон проводимости (свободный электрон) и что эффективная масса электронов m* приблизительно равна массе свободных электронов (плотность меди r=8900 кг/м3; молярная масса m=63,5 г/моль). 

    РЕШЕНИЕ.

     Найдем связь количества электронов проводимости с уровнем Ферми. Число электронов проводимости в металле может быть найдено с учетом формулы:

      гдефункция распределения Ферми-Дирака. При Т=0 f(E)=1, если E<EF и f(E)=0, если E>EF.

    Плоность разрешенных квантовых состояний электронов внутри энергетической зоны:

    где V-объем кристалла; m- масса электрона; E-энергия электрона и h- постоянная Планка.

    Отсюда находим концентрацию электронов проводимости в металле:

      Откуда энергия Ферми:

    По условию задачи концентрация свободных электронов в меди равна концентрации атомов меди:  где Vm- объем моля меди, NA- число Авогадро.

    Подставляя в формулу значения NA, r и m, получаем:

    .Окончательно:

    ОТВЕТ: 7 эВ.

    Пример 2. Вычислить среднее значение кинетической энергии электронов в меди при абсолютном нуле, если уровень Ферми для меди равен 7 эВ.

    РЕШЕНИЕ.


    Найдем суммарную кинетическую энергию всех электронов в металле воспользовавшись формулой для распределения Ферми по энергиям для


    свободных электронов:

    Среднее значение кинетической энергии электронов:

    Подставим численное значение:

    ОТВЕТ: 6,7×10-19 Дж.

    Пример 3: Какова вероятность того, что электрон в металле будет иметь энергию равную энергии Ферми?

    РЕШЕНИЕ:

    При Е=m функция Ферми-Дирака:

    Вероятность нахождения электрона на уровне Ферми равна 0,5.

    ОТВЕТ: 0,5.

    ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

    7.1. Концентрация свободных электронов натрия 2,5×1028 м-3. Определить температуру Ферми и скорость электронов на уровне Ферми.

    ОТВЕТ: ТF=3,6×104 К; uF=106 м/с.

    7.2. Определить число электронных состояний в единице объема металла с энергией 0,3-0,4 эВ.

    ОТВЕТ: 2,88×1025 м-3.

    7.3. Каковы соответственно вероятности того, что при комнатной температуре электрон займет состояния, лежащие на 0,1 эВ выше и на 0,1 эВ ниже уровня Ферми?

    ОТВЕТ: 1,79×10-2; 0,98.

    7.4. При абсолютном нуле уровень Ферми для меди 7 эВ. Определить значение уровня Ферми при 20 К.

    ОТВЕТ: 7 эВ.

    7.5. Какова вероятность заполнения электронами в металле энергетического уровня, расположенного на 0,01 эВ ниже уровня Ферми, при температуре 180С.

    ОТВЕТ: 0,6.

    7.6. Определить вероятность того, что электрон в металле займет энергетическое состояние, находящееся на DЕ=0,05 эВ ниже уровня Ферми и выше уровня Ферми в случае: 1. Т1=290 К; 2.Т2=58 К.

    ОТВЕТ: 0,119; 0,881; 4,5×10-5; 0,999.

    7.7. Как и во сколько раз изменится вероятность заполнения электронами энергетического уровня в металле, если уровень расположен на 0,01 эВ ниже уровня Ферми и температура изменяется от 200 до 300К?

    ОТВЕТ: Уменьшится в 1,1 раза.

    Определить число свободных электронов, которое приходится на один атом натрия при абсолютном нуле. Уровень Ферми для натрия 3,12 эВ. Плотность натрия 970 кг/м3, молярная масса натрия равна 22,99 г/моль.

    ОТВЕТ: 0,98 1/атом.

    Во сколько раз число свободных электронов, приходящихся на один атом металла при 0 К, больше в алюминии, чем в меди, если уровни Ферми соответственно равны 11,7 эВ и 7 эВ? Плотность меди 8900 кг/м3, плотность алюминия – 2690 кг/м3.

    ОТВЕТ: В 3 раза.

    Вычислить энергию Ферми при Т=0 К для алюминия. Считать, что на каждый атом алюминия приходится 3 свободных электрона. Плотность алюминия – 2690 кг/м3, молярная масса – 26,98 г/моль.

    ОТВЕТ: 12 эВ.

    Определить концентрацию свободных электронов в металле при абсолютном нуле. Энергию Ферми принять равной 1 эВ.

    ОТВЕТ: 4,58×1027 м-3.

    Определить отношение концентраций свободных электронов при Т=0К в литии и цезии, если известно, что уровень Ферми в этих металлах соответственно равен: 4,72 эВ и 1,53 эВ.

    ОТВЕТ: 5,47.

    Вычислить суммарную кинетическую энергию электронов проводимости в 1 см3 цезия при 0 К.

    ОТВЕТ: 2,26 эВ.

    Вычислить среднее значение кинетической энергии электронов в металле при абсолютном нуле, если уровень Ферми равен 11,7 эВ.

    ОТВЕТ: 7,02 эВ.

    Определить максимальную и среднюю квадратичную скорости свободных электронов кальция при Т=0К. Считать, что на каждый атом кальция приходится два свободных электрона.

    ОТВЕТ: umax=1,28×106 м/сек; uкв.=0,99×106 м/сек.

    Металл находится при абсолютном нуле температуры. Определить во сколько раз число электронов с кинетической энергией от EF/2 до EF больше числа электронов с энергией от нуля до EF/2.

    ОТВЕТ: В 1,83 раза.

    Вычислить теплоемкость электронов проводимости единицы объема меди при температуре 100 К, считая, что концентрация электронов равна числу атомов в единице объема. Значение уровня Ферми для меди принять равным 7 эВ. Плотность меди – 8900 кг/м3, молярная масса- 63,57 г/моль.

    ОТВЕТ: 7×103 Дж/(град×м3).

    Исходя из классической теории электропроводности металлов, определить среднюю кинетическую энергию электронов в металле, если отношение коэффициента теплопроводности к удельной проводимости c/s=6,7×10-6 в2/К.

    ОТВЕТ: 3,77×10-21Дж.

    Концентрация свободных электронов алюминия 18,06×1022 см-3. Определить температуру Ферми и скорость электронов на уровне Ферми.

    ОТВЕТ: 13,5×104 К; 2,02×106 м/сек.

    Электропроводность металла s=10 Мом-1×м-1. Вычислить среднюю длину свободного пробега электронов в металле, если концентрация свободных электронов равна 1028м-3, а средняя скорость хаотического движения электронов равна 104 м/с.

    ОТВЕТ: 3,55 нм.

    Физика - лекции, конспекты, примеры решения задач