Физика примеры решения задач

Физика
  • Основные типы связей в твердых телах
  • Внутренняя структура твердых тел
  • Обратная решетка
  • Дифракция в кристаллах
  • Упругие свойства кристаллов
  • Динамика решетки
  • Тепловые свойства твердых тел
  • Электроны в металлах.
  • Зонная теория твердых тел
  • Дефекты кристаллической решетки
  • Раздел «Кинематика»
  • Раздел «Динамика»
  • Механические колебания и волны. Акустика
  • Уравнение движения материальной точки
  • Молекулярная физика и термодинамика.
  • Раздел. «Электростатика»
  • Раздел «Постоянный ток»
  • Раздел «Переменный ток»
  • Электрическое поле
  • Элементы атомной и ядерной физики
  • Взаимодействие света с веществом.
  • Основные физические константы в СИ
  • Тепловые свойства твердых тел

    Пример 1. Вычислить теплоемкость единицы объема кристалла бромистого алюминия AlBr3 по классической теории теплоемкости. Определить теплоту, необходимую для нагревания кристалла AlBr3 массой 10 г на DТ=5К.

    РЕШЕНИЕ.

     Темплоемкость единицы объема кристалла можно определить по формуле:

    С=Сm/Vm, где Сm и Vm теплоемкость и объем одного моля вещества. Молярная теплоемкость определяется по закону Неймана-Коппа: Сm=3nR, где n-число атомов в соединении. Для AlBr3 n=4. Объем Vm можно выразить через плотность кристалла: Vm=m/r. Масса моля AlBr3 равна: m=3mBr+mAl. Подставим эти выражения в расчетную формулу для теплоемкости:

    С=12Rr/(3mBr+mAl).

    Из таблицы находим плотность этого кристалла r=3,01 103кг/м3, mBr=80 г/моль; mAl=27 г/моль. С учетом этих значений теплоемкость:

    С=

    Теплота DQ, необходимая для нагревания тела от Т1 до Т2, может быть вычислена по формуле:

    поскольку по классической теории молярная теплоемкость не зависит от температуры. Тогда окончательно:

    ОТВЕТ:

    Пример 2: Пользуясь теорией теплоемкости Эйнштейна, определить изменение внутренней энергии одного килоатома кристалла при нагревании его от Т1=0 до Т2=0,1 qЕ. Характеристическую температуру Эйнштейна qЕ принять для данного кристалла равной 300 К.

    РЕШЕНИЕ.

    Внутренняя энергия одного атома кристалла в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна может быть определена по формуле:

    .

    Изменение внутренней энергии:

    .

    Для низких температур (Т<<qЕ) теплоемкость определяется по формуле:

    Сm=3R(qЕ/T)2exp(-qЕ/T).

    Подставим это выражение в выражение для внутренней энергии:

    .

    Введем новую переменную х=qЕ/Т. Тогда dx=-(qЕ/T2)dT,  температура Т1 соответствует х1®¥, Т2 - x2=qЕ/0,1qЕ=10.

     Окончательно:

    .

    ОТВЕТ: 340 Дж.

    Пример 3: Оценить величину термического коэффициента расширения твердого тела, считая, что коэффициент ангармоничности g@b/2r0. При оценке принять модуль Юнга Е=100 ГН/м2, межатомное расстояние r0=0,3 нм.

    РЕШЕНИЕ.

    Теоретически значение термического коэффициента расширения a можно оценить по формуле: a=gkБ/b2r0. С учетом приближенного равенства g »b/2 r0 формула приобретает вид: a» kБ/2b2r0 . Используя соотношение b= r0 Е, окончательно получаем:

    a» kБ/(2 Е r0 3)= 1,38 10-23/2 100 109(0,3 10-9)3 = 2,6 10-6 К-1.

    ОТВЕТ: 2,6 10-6 К-1.

    ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

    6.1. Удельная теплоемкость алюминия при 200С равна 896 Дж/(кг К). Выполняется ли при этой температуре для него закон Дюлонга и Пти?

    ОТВЕТ: не выполняется.

    6.2. Удельные теплоемкости свинца и алюминия при постоянном объеме и температуре 200С составляют соответственно 126 и 896 Дж/(кг К). Молярная масса свинца равна 207,21 г/моль, алюминия – 26,99 г/моль. Вычислить теплоемкости одного моля для каждого из них и сравнить со значениями, полученными по закону Дюлонга и Пти.

    ОТВЕТ: Сv Al = 24,17 Дж/моль×град; Cv Pb= 26,1 Дж/моль×град.

    6.3. Рассчитать значение теплоемкости твердого тела по теории Эйнштейна.

    ОТВЕТ:

    6.4. Имеется система N молекул, которые могут находиться в двух различных энергетических состояниях, отличающихся друг от друга значением энергии DЕ. Определить теплоемкость такой системы.

    ОТВЕТ:

    6.5. Почему электронная теплоемкость неметаллов практически равна нулю?

    6.6. Показать, что теплоемкость по теории Дебая достигает значения 3R при высоких температурах, когда qД/Т ®0.

    6.7. Показать, что при низких температурах теплоемкость твердого тела по теории Дебая пропорциональна кубу абсолютной температуры.

    6.8. Характеристическая температура золота 170 К. Определить постоянную квазиупругой силы. Молярная масса золота равна 197,2 г/моль.

    ОТВЕТ: ¡=88,7 кг/сек2.

    6.9. Теплоемкость серебра при 10 К равна 199 Дж/(кмоль К). Определить характеристическую температуру.

    ОТВЕТ: q=213 К.

    6.10. Найти в общем случае разность теплоемкостей тела при постоянном давлении и постоянном объеме.

    ОТВЕТ:

    6.11. С помощью общих термодинамических соотношений установить связь между коэффициентом объемного расширения, объемной сжимаемости и термической упругостью твердого тела.

    ОТВЕТ: a/c=gР.

    6.12. Показать, что при низких температурах коэффициенты термического расширения кристаллов стремятся к нулю.

    6.13. Определить изменение внутренней энергии кристалла никеля при нагревании от температуры 00С до 2000С. Масса кристалла составляет 10 г, молярная масса равна 58,69 г/моль.

    ОТВЕТ: 1,70 кДж.

    6.14. Определить теплоту, необходимую для нагревания кристалла NaCl массой m=10 г на DТ=1 К. Рассмотреть два случая:

    1) нагревание происходит от температуры Т1=qД;

    2) нагревание происходит от температуры Т2= 1К.

    Характеристическую температуру Дебая для NaCl принять равной 320 К. Молярная масса натрия равна 22,99 г/моль, хлора 35,45 г/моль.

    ОТВЕТ: Dq1= 4,08 Дж; Dq2=38 мкДж.

    6.15. Показать, что если смещение частиц в кристаллической решетке твердого тела подчиняется закону Гука F(x)=-b x, то тепловое расширение отсутствует.

    6.16. Определить энергию и теплоемкость системы, состоящей из N=1025 классических трехмерных независимых гармонических осцилляторов. Температура Т=qД=300 К.

    ОТВЕТ: 124 кДж; 414 Дж/К.

    6.17. Определить энергию системы, состоящей из N=1025 квантовых трехмерных независимых осцилляторов при температуре Т=qЕ= 300 К.

    ОТВЕТ: 72,2 кДж.

    6.18. Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, вычислить изменение внутренней энергии одного моля кристалла при нагревании его на DТ=2 К от температуры Т= 1/2 qЕ.

    ОТВЕТ: 36 Дж.

    6.19. Определить максимальную частоту собственных колебаний в кристалле золота по теории Дебая. Характеристическая температура золота qД=180 К.

    ОТВЕТ: 2,37×1013 Гц.

    6.20. Используя квантовую теорию теплоемкости Дебая, вычислить изменение внутренней энергии одного моля кристалла при нагревании его на DТ=2 К от температуры Т= 1/2 qД.

    ОТВЕТ: 484,7 Дж.

    6.21. Пользуясь теорией теплоемкости Дебая, определить изменение внутренней энергии одного моля кристалла при нагревании его от нуля до Т=0,1 qД. Характеристическую температуру Дебая принять равной 300 К. Считать, что Т<<qД.

    ОТВЕТ: 14,54 Дж.

    6.22. Вычислить по теории Дебая нулевую энергию одного моля кристалла меди. Характеристическая температура qД для меди равна 320 К.

    ОТВЕТ: 2,2×10-21 Дж.

    6.23. Какова удельная теплоемкость цинка при 1000С? Молярная масса цинка равна 65,38 г/моль.

    ОТВЕТ: 0,382×10-3 Дж/кг×К.

    6.24. Найти коэффициент объемного расширения В для анизотропного кристалла, коэффициенты линейного расширения которого по трем взаимно перпендикулярным направлениям составляют a1= 1,25 10-5К-1; a2=1,10 10-5 К-1; a3=1,15 10-5 К-1.

    ОТВЕТ: 3,40×10-5 К-1.

    6.25. Вычислить по теории Эйнштейна нулевую энергию, которой обладает один моль кристалла цинка. Характеристическая температура qЕ для цинка равна 230 К.

    ОТВЕТ: 2,2×10-21 Дж.

    6.26. Вычислить среднюю длину свободного пробега фононов в кварце при некоторой температуре, если при той же температуре коэффициент теплопроводности l=13 Вт/(м К), молярная теплоемкость Сm =44 кДж/(кмоль К) и усредненной значение скорости звука <u>=5000 м/с. Плотность кварца r=2,65 103 кг/м3.

    ОТВЕТ: 4,0 нм.

    6.27. Каково максимальное изменение потенциальной энергии атомов в кристаллической решетке твердого тела при гармонических колебаниях, если амплитуда тепловых колебаний тела составляет 5 % среднего межатомного расстояния. Среднее межатомное расстояние принять равным 0,3 нм, модуль Юнга Е=100 Гпа.

    ОТВЕТ: 3,4 ×10-21Дж.

    6.28. Вычислить электронную теплоемкость для меди при температуре 2 и 1000 К и сравнить ее с теплоемкостью решетки при тех же температурах. Характеристическая температура меди равна 316 К, g=6,95×10-4 Дж/моль×К.

    ОТВЕТ: 1). Сvэл.=14,56×10-4 Дж/моль×град; Сvэл.=0,728 Дж/моль×град; Сvр.=4,8×10-4 Дж/моль×град; Сvр.=24,96 Дж/моль×град.

    Физика - лекции, конспекты, примеры решения задач